Два катера движутся навстречу друг другу. Сейчас между ними 25 км. Скорость одного из них составляет 7/8 скорости другого. Найдите скорость каждого катера, если известно, что они встретятся через 1/2 ч.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим скорость одного катера как \( v_1 \) и скорость другого как \( v_2 \). По условию, \( v_1 = \frac{7}{8} v_2 \).
2. Шаг 2: Поскольку катера движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме их скоростей: \( v_{отн} = v_1 + v_2 \).
3. Шаг 3: Подставим выражение для \( v_1 \) в формулу относительной скорости: \( v_{отн} = \frac{7}{8} v_2 + v_2 = \frac{7}{8} v_2 + \frac{8}{8} v_2 = \frac{15}{8} v_2 \).
4. Шаг 4: Используем формулу: расстояние = скорость × время. Известно, что расстояние равно 25 км, а время — 1/2 ч. \( 25 = v_{отн} \times \frac{1}{2} \).
5. Шаг 5: Найдем относительную скорость: \( v_{отн} = 25 : \frac{1}{2} = 25 \times 2 = 50 \) км/ч.
6. Шаг 6: Теперь найдем скорость второго катера, используя \( v_{отн} = \frac{15}{8} v_2 \): \( 50 = \frac{15}{8} v_2 \).
7. Шаг 7: Выразим \( v_2 \): \( v_2 = 50 \times \frac{8}{15} = \frac{400}{15} = \frac{80}{3} \) км/ч.
8. Шаг 8: Найдем скорость первого катера: \( v_1 = \frac{7}{8} v_2 = \frac{7}{8} \times \frac{80}{3} = \frac{7 \times 10}{3} = \frac{70}{3} \) км/ч.

Ответ: Скорость первого катера \(\frac{70}{3}\) км/ч, скорость второго катера \(\frac{80}{3}\) км/ч.