1. Два катера, имеющие одинаковую собственную скорость, вышли одновременно навстречу друг другу от двух пристаней, расстояние между которыми 73,2 км. Встреча катеров произошла через 3 часа после начала движения. а) За какое время может проплыть весь путь между пристанями катер I, идущий по течению реки, если катер II проходит весь этот путь за 8 часов? б) За какое время может проплыть весь путь между пристанями плот?

Решение:

Обозначим:

• V₁ - скорость первого катера;


• V₂ - скорость второго катера;


• V_теч - скорость течения реки;


• S - расстояние между пристанями.

1. 
   

   Определим скорость сближения катеров:

   
   $$\frac{S}{t} = V_1 + V_2$$
   

   где t = 3 часа - время до встречи катеров.

   
   

   Так как собственные скорости катеров равны, то:

   
   $$V_1 = V_2$$
   $$\frac{S}{3} = 2V_1$$
   $$V_1 = \frac{S}{6}$$
   


2. 
   

   Выразим скорость второго катера, идущего против течения:

   
   $$V_2 = \frac{S}{8} = V_1 - V_{теч}$$
   

   Подставим значение V₁:

   
   $$\frac{S}{8} = \frac{S}{6} - V_{теч}$$
   

   Выразим скорость течения реки:

   
   $$V_{теч} = \frac{S}{6} - \frac{S}{8} = \frac{4S - 3S}{24} = \frac{S}{24}$$
   


3. 
   

   Выразим скорость первого катера, идущего по течению:

   
   $$V_1 + V_{теч} = \frac{S}{6} + \frac{S}{24} = \frac{4S + S}{24} = \frac{5S}{24}$$
   

   Тогда время, которое затратит первый катер, чтобы проплыть весь путь между пристанями:

   
   $$t = \frac{S}{\frac{5S}{24}} = \frac{24}{5} = 4,8 \text{ часа}$$
   

a) Время, за которое катер I проплывет весь путь между пристанями: 4,8 часа.

1. 
   

   Определим время, за которое плот проплывет весь путь между пристанями:

   
   $$t = \frac{S}{V_{теч}} = \frac{S}{\frac{S}{24}} = 24 \text{ часа}$$
   

б) Время, за которое плот проплывет весь путь между пристанями: 24 часа.

Ответ: а) 4,8 часа; б) 24 часа.