Два небольших груза массами m₁ = 2m и m₂ = m = 30 г закреплены на невесомом жёстком стержне длиной l. Стержень может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку O, расположенную между грузами (см. рисунок). Стержень удерживают в горизонтальном положении и отпускают без толчка. Найдите модуль силы F, с которой груз m₁ действует на стержень в тот момент, когда он проходит положение равновесия. Расстояние от точки O до груза m₁ равно l₁ = 2/3 l. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

Примем, что положение равновесия — горизонтальное положение стержня, через которое он проходит после отпускания. Плечи грузов относительно оси: \(r_1=l_1=\frac{2l}{3}\), \(r_2=l-l_1=\frac{l}{3}\). При отпускании стержень начинает поворачиваться так, что груз \(m_1\) движется вниз.

Моменты сил тяжести относительно оси в начальном положении дают угловое ускорение. Момент инерции системы грузов равен \(I=m_1r_1^2+m_2r_2^2\). Следовательно,

\(\alpha=\dfrac{m_1gr_1-m_2gr_2}{m_1r_1^2+m_2r_2^2}\).

Поскольку \(m_1=2m\), получаем:

\(\alpha=\dfrac{2mgr_1-mgr_2}{2mr_1^2+mr_2^2}=\dfrac{g(2r_1-r_2)}{2r_1^2+r_2^2}=\dfrac{9g}{11l}\).

В момент прохождения горизонтального положения сила тяжести создаёт тот же суммарный момент, а значит угловое ускорение по-прежнему равно \(\frac{9g}{11l}\). Ускорение груза \(m_1\) направлено по касательной вниз и равно:

\(a_1=\alpha r_1=\dfrac{9g}{11l}\cdot\dfrac{2l}{3}=\dfrac{6g}{11}\).

Для груза \(m_1\) вертикально вниз направлена сила тяжести, а вверх — сила со стороны стержня. По второму закону Ньютона сила стержня на груз равна \(N=m_1(g-a_1)=2m\left(g-\frac{6g}{11}\right)=\frac{10mg}{11}\). По третьему закону Ньютона груз действует на стержень с такой же по модулю силой.

При \(m=30\) г \(=0.03\) кг и \(g=10\) м/с²:

\(F=\frac{10mg}{11}=\frac{10\cdot0.03\cdot10}{11}\approx0.273\) Н.

Применимость законов: грузы малы по сравнению с длиной стержня, поэтому их можно считать материальными точками; стержень невесом, ось неподвижна и трения в ней нет. Поэтому к вращению системы применим закон моментов сил, а к движению груза — второй закон Ньютона; взаимодействие груза и стержня подчиняется третьему закону Ньютона.

Ответ: \(F\approx0.27\) Н.