Два одинаковых бруска толщиной 10 см каждый, связанные друг с другом, плавают в воде так, что уровень воды приходится на границу между ними (см. рисунок). Насколько увеличится глубина погружения стопки брусков, если в неё добавить ещё один такой же брусок? Ответ дайте в см.

Решение:

Задача решается исходя из закона Архимеда. Для плавающего тела выталкивающая сила равна силе тяжести. Когда мы добавляем один брусок, общий вес увеличивается, и уровень воды поднимается.

Пусть \( ρ_{вода} \) — плотность воды, \( ρ_{бруска} \) — плотность бруска, \( S \) — площадь поперечного сечения бруска, \( h \) — толщина одного бруска (10 см).

1. Начальное состояние:

Два бруска плавают так, что вода находится на границе между ними. Это означает, что половина каждого бруска погружена в воду.

Объем погруженной части двух брусков: \( V_{погр} = 2 · S · \frac{h}{2} = S · h \).

Общий вес двух брусков: \( P_{2} = 2 · s · h · ρ_{бруска} · g \).

Выталкивающая сила, действующая на два бруска: \( F_{A2} = V_{погр} · ρ_{вода} · g = S · h · ρ_{вода} · g \).

Так как тело плавает, \( F_{A2} = P_{2} \):

\( S · h · ρ_{вода} · g = 2 · S · h · ρ_{бруска} · g \)

Отсюда находим соотношение плотностей: \( ρ_{вода} = 2 · ρ_{бруска} \), или \( ρ_{бруска} = \frac{1}{2} ρ_{вода} \).

Глубина погружения в начальном состоянии: \( h_{погр1} = \frac{h}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см} \).

2. Конечное состояние:

Добавляем еще один такой же брусок. Теперь у нас три бруска.

Общий вес трех брусков: \( P_{3} = 3 · S · h · ρ_{бруска} · g \).

Подставляем \( ρ_{бруска} = \frac{1}{2} ρ_{вода} \):

\( P_{3} = 3 · S · h · \frac{1}{2} ρ_{вода} · g = \frac{3}{2} · S · h · ρ_{вода} · g \).

Пусть новая глубина погружения стопки будет \( h'_{погр} \). Общий объем погруженной части трех брусков: \( V'_{погр} = 3 · S · h'_{погр} \).

Выталкивающая сила: \( F'_{A3} = V'_{погр} · ρ_{вода} · g = 3 · S · h'_{погр} · ρ_{вода} · g \).

Так как тело плавает, \( F'_{A3} = P_{3} \):

\( 3 · S · h'_{погр} · ρ_{вода} · g = \frac{3}{2} · S · h · ρ_{вода} · g \).

Сокращаем одинаковые множители:

\( 3 · h'_{погр} = \frac{3}{2} · h \)

\( h'_{погр} = \frac{1}{2} · h = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см} \).

3. Увеличение глубины погружения:

Увеличение глубины погружения: \( Δh_{погр} = h'_{погр} - h_{погр1} = 5 \text{ см} - 5 \text{ см} = 0 \text{ см} \).

Объяснение:

В начальном состоянии глубина погружения каждого из двух брусков равна 5 см. Общая высота погруженной части составляет 10 см, но так как бруски связаны, уровень воды находится на границе между ними. Это значит, что погружена ровно половина общего объема брусков. Добавление третьего бруска увеличивает общий вес в 1.5 раза. Соответственно, чтобы сохранить плавучесть, общий объем погруженной части должен увеличиться в 1.5 раза. Так как плотность брусков равна половине плотности воды, они всегда погружаются наполовину своего объема, независимо от количества брусков в стопке. Таким образом, глубина погружения каждого бруска остается неизменной (5 см), и уровень воды остается на той же границе.

Ответ: 0 см.