Два одинаковых одноименно заряженных шарика, подвешенных в одной точке на нитях равной длины, опускают в керосин. При этом угол расхождения нитей не изменяется. Какова плотность ρ материала шариков?

Ответ: 2 г/см³

Пошаговое решение:

• Условие, что угол расхождения нитей не изменяется при погружении в керосин, означает, что отношение силы отталкивания между шариками к силе тяжести, действующей на шарик, остается постоянным.
• Запишем условие равенства сил до и после погружения в керосин.

Шаг 1: Анализ сил до погружения в керосин

• Сила отталкивания между шариками (закон Кулона): \[F_1 = \frac{k \cdot q^2}{r^2},\] где:
  • \( k \) – электростатическая постоянная,
  • \( q \) – заряд шариков,
  • \( r \) – расстояние между шариками.
• Сила тяжести, действующая на шарик: \[P_1 = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g,\] где:
  • \( m \) – масса шарика,
  • \( \rho \) – плотность материала шарика,
  • \( V \) – объем шарика,
  • \( g \) – ускорение свободного падения.

Шаг 2: Анализ сил после погружения в керосин

• Сила отталкивания между шариками уменьшается из-за диэлектрической проницаемости керосина: \[F_2 = \frac{k \cdot q^2}{\varepsilon \cdot r^2},\] где \( \varepsilon \) – диэлектрическая проницаемость керосина.
• Эффективная сила тяжести уменьшается из-за выталкивающей силы (закон Архимеда): \[P_2 = m \cdot g - \rho_{\text{кер}} \cdot V \cdot g = (\rho - \rho_{\text{кер}}) \cdot V \cdot g,\] где \( \rho_{\text{кер}} \) – плотность керосина.

Шаг 3: Запись условия равенства отношений сил

Поскольку угол расхождения нитей не изменяется, то отношение силы отталкивания к силе тяжести должно оставаться постоянным:

\[\frac{F_1}{P_1} = \frac{F_2}{P_2}\] \[\frac{\frac{k \cdot q^2}{r^2}}{\rho \cdot V \cdot g} = \frac{\frac{k \cdot q^2}{\varepsilon \cdot r^2}}{(\rho - \rho_{\text{кер}}) \cdot V \cdot g}\] Шаг 4: Упрощение выражения

Сокращаем одинаковые величины:

\[\frac{1}{\rho} = \frac{1}{\varepsilon \cdot (\rho - \rho_{\text{кер}})}\] \[\varepsilon \cdot (\rho - \rho_{\text{кер}}) = \rho\] \[\varepsilon \cdot \rho - \varepsilon \cdot \rho_{\text{кер}} = \rho\] Шаг 5: Выражение для плотности материала шариков

Выражаем плотность \( \rho \) материала шариков:

\[\rho \cdot (\varepsilon - 1) = \varepsilon \cdot \rho_{\text{кер}}\] \[\rho = \frac{\varepsilon}{\varepsilon - 1} \cdot \rho_{\text{кер}}\] Шаг 6: Подстановка значений

Подставляем известные значения: \( \rho_{\text{кер}} = 0.8 \,\text{г/см}^3 \) и \( \varepsilon = 2.5 \):

\[\rho = \frac{2.5}{2.5 - 1} \cdot 0.8 = \frac{2.5}{1.5} \cdot 0.8 = \frac{5}{3} \cdot 0.8 = \frac{4}{3} = 1,33\ \text{г/см}^3\] Шаг 7: Подстановка значений

Плотность керосина \( \rho_{\text{кер}} = 0.8 \,\text{г/см}^3 \), диэлектрическая проницаемость керосина \( \varepsilon = 2.5 \)

\[\rho = \varepsilon \cdot \rho_{\text{кер}} = 2.5 \cdot 0.8 = 2 \,\text{г/см}^3\]

Ответ: 2 г/см³