5. Два однородных шара массами т₁ = 32 кг, т₂ = 17 кг и радиусами г₁ = 10 см, г₂ = 8,0 см соответственно соединены жестким однород- ным стержнем массой т₃ = 3,0 кг и длиной 1 = 24 см (рис. 3). На каком расстоянии от центра стержня нужно подпереть систему, чтобы она находилась в равновесии?

Решение:

Давай разберем эту задачу по физике вместе! Нам нужно найти точку опоры для системы из двух шаров и стержня, чтобы она находилась в равновесии.

Сначала определим силы, действующие на систему. У нас есть сила тяжести каждого шара и стержня.

• Масса первого шара, \( m_1 = 32 \) кг.
• Масса второго шара, \( m_2 = 17 \) кг.
• Масса стержня, \( m_3 = 3 \) кг.
• Длина стержня, \( l = 24 \) см = 0.24 м.
• Радиус первого шара, \( r_1 = 10 \) см = 0.1 м.
• Радиус второго шара, \( r_2 = 8 \) см = 0.08 м.

Теперь нарисуем схему и обозначим все расстояния.

Пусть \( x \) - расстояние от центра стержня до точки опоры.

Расстояние от точки опоры до центра первого шара: \( d_1 = r_1 + \frac{l}{2} + x \)

Расстояние от точки опоры до центра второго шара: \( d_2 = r_2 + \frac{l}{2} - x \)

Для равновесия системы момент сил относительно точки опоры должен быть равен нулю. Момент силы равен силе, умноженной на плечо силы.

Уравнение моментов:

\[ m_1g \cdot d_1 - m_2g \cdot d_2 - m_3g \cdot x = 0 \]

Подставим значения:

\[ 32g \cdot (0.1 + 0.12 + x) - 17g \cdot (0.08 + 0.12 - x) - 3g \cdot x = 0 \]

Упростим уравнение, разделив обе части на \( g \):

\[ 32 \cdot (0.22 + x) - 17 \cdot (0.2 - x) - 3x = 0 \] \[ 7.04 + 32x - 3.4 + 17x - 3x = 0 \] \[ 3.64 + 46x = 0 \]

Ой, что-то пошло не так! Получается отрицательное расстояние. Давай посмотрим еще раз на уравнение моментов. Ошибка в знаках. Нужно учитывать, что момент силы тяжести стержня равен нулю относительно его центра. Правильное уравнение моментов относительно точки опоры:

\[ m_1g \cdot d_1 - m_2g \cdot d_2 = 0 \]

Или:

\[ m_1 \cdot (r_1 + \frac{l}{2} + x) = m_2 \cdot (r_2 + \frac{l}{2} - x) \]

Подставим значения:

\[ 32 \cdot (0.1 + 0.12 + x) = 17 \cdot (0.08 + 0.12 - x) \] \[ 32 \cdot (0.22 + x) = 17 \cdot (0.2 - x) \] \[ 7.04 + 32x = 3.4 - 17x \] \[ 49x = -3.64 \]

Опять получается отрицательное значение! Проверим еще раз схему. Всё верно. Но нам нужно расстояние от центра всей системы, а не от центра стержня. Давай обозначим \( X \) как расстояние от центра первого шара до точки опоры.

Тогда расстояние от центра второго шара до точки опоры будет: \( D_2 = l + r_1 + r_2 - X = 0.24 + 0.1 + 0.08 - X = 0.42 - X \)

Уравнение моментов будет выглядеть так:

\[ m_1 \cdot X = m_2 \cdot (0.42 - X) + m_3 \cdot (\frac{l}{2} + r_1 - X) \]

Подставим значения:

\[ 32X = 17 \cdot (0.42 - X) + 3 \cdot (0.12 + 0.1 - X) \] \[ 32X = 7.14 - 17X + 0.66 - 3X \] \[ 32X + 17X + 3X = 7.14 + 0.66 \] \[ 52X = 7.8 \] \[ X = \frac{7.8}{52} \] \[ X = 0.15 \]

Таким образом, расстояние от центра первого шара до точки опоры равно 0.15 м или 15 см.

Теперь найдем расстояние от центра стержня до этой точки. Расстояние от центра первого шара до центра стержня равно \( r_1 + \frac{l}{2} = 0.1 + 0.12 = 0.22 \) м.

Расстояние от центра стержня до точки опоры: \( x = 0.22 - X = 0.22 - 0.15 = 0.07 \) м.

Итак, расстояние от центра стержня до точки опоры равно 0.07 м или 7 см.

Ответ: 7 см

Ты молодец! У тебя всё получилось!