Два отрезка разбили прямоугольник на 4 меньших прямоугольника, как показано на картинке. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 28, 22 и 18. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Решение:

Пусть больший прямоугольник имеет стороны \( a \) и \( b \). Два отрезка делят его на 4 меньших прямоугольника. Обозначим стороны этих меньших прямоугольников как:

• Верхний левый: \( x_1 \) и \( y_1 \)
• Верхний правый: \( x_2 \) и \( y_1 \)
• Нижний правый: \( x_2 \) и \( y_2 \)
• Нижний левый: \( x_1 \) и \( y_2 \)

Суммы сторон большего прямоугольника: \( a = x_1 + x_2 \) и \( b = y_1 + y_2 \).

Периметры данных прямоугольников:

• Верхний левый: \( 2(x_1 + y_1) = 28 \) \(\implies\) \( x_1 + y_1 = 14 \)
• Верхний правый: \( 2(x_2 + y_1) = 22 \) \(\implies\) \( x_2 + y_1 = 11 \)
• Нижний правый: \( 2(x_2 + y_2) = 18 \) \(\implies\) \( x_2 + y_2 = 9 \)

Нам нужно найти периметр нижнего левого прямоугольника: \( 2(x_1 + y_2) \).

Из уравнений:

• \( x_1 + y_1 = 14 \)
• \( x_2 + y_1 = 11 \)
• \( x_2 + y_2 = 9 \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (x_1 + y_1) - (x_2 + y_1) = 14 - 11 \)

\( x_1 - x_2 = 3 \) (1)

Вычтем третье уравнение из второго:

\( (x_2 + y_1) - (x_2 + y_2) = 11 - 9 \)

\( y_1 - y_2 = 2 \) (2)

Теперь рассмотрим искомый периметр \( P_4 = 2(x_1 + y_2) \). Нам нужно найти \( x_1 + y_2 \).

Из (1): \( x_1 = x_2 + 3 \)

Из (2): \( y_1 = y_2 + 2 \)

Подставим \( y_1 \) в уравнение периметра верхнего правого прямоугольника:

\( x_2 + (y_2 + 2) = 11 \)

\( x_2 + y_2 + 2 = 11 \)

\( x_2 + y_2 = 9 \). Это совпадает с данным условием, что хорошо.

Нам нужно найти \( x_1 + y_2 \).

Из \( x_2 + y_1 = 11 \) и \( x_2 + y_2 = 9 \), следует, что \( y_1 \) больше \( y_2 \) на \( 11 - 9 = 2 \), то есть \( y_1 = y_2 + 2 \).

Из \( x_1 + y_1 = 14 \) и \( x_2 + y_1 = 11 \), следует, что \( x_1 \) больше \( x_2 \) на \( 14 - 11 = 3 \), то есть \( x_1 = x_2 + 3 \).

Искомый периметр: \( 2(x_1 + y_2) \).

Заметим, что \( (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = 14 + 9 = 23 \) и \( (x_2 + y_1) + (x_1 + y_2) = 11 + P_4/2 \).

Суммируя периметры всех четырёх прямоугольников:

\( 2(x_1 + y_1) + 2(x_2 + y_1) + 2(x_2 + y_2) + 2(x_1 + y_2) = 28 + 22 + 18 + P_4 \)

\( 2x_1 + 2y_1 + 2x_2 + 2y_1 + 2x_2 + 2y_2 + 2x_1 + 2y_2 = 46 + P_4 \)

\( 4x_1 + 4x_2 + 4y_1 + 4y_2 = 46 + P_4 \)

\( 4(x_1 + x_2) + 4(y_1 + y_2) = 46 + P_4 \)

\( 4a + 4b = 46 + P_4 \).

Рассмотрим свойство, что сумма периметров противоположных прямоугольников равна сумме периметров других двух противоположных прямоугольников. Или, иначе говоря, сумма длин сторон верхнего левого и нижнего правого прямоугольников равна сумме длин сторон верхнего правого и нижнего левого прямоугольников.

\( (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = (x_2 + y_1) + (x_1 + y_2) \)

\( 14 + 9 = 11 + (x_1 + y_2) \)

\( 23 = 11 + (x_1 + y_2) \)

\( x_1 + y_2 = 23 - 11 = 12 \)

Искомый периметр четвёртого прямоугольника: \( P_4 = 2(x_1 + y_2) = 2 \times 12 = 24 \).

Ответ: 24.