8. Два отрезка заключены между параллельными плоскостями. Найти расстояние между плоскостями, если длины отрезков 13и 20см., а сумма их проекций на одну из плоскостей 21см.

Для решения этой задачи необходимо использовать знания геометрии, а именно теорему Пифагора и свойства параллельных плоскостей.

Пусть даны два отрезка длиной $$l_1 = 13 \text{ см}$$ и $$l_2 = 20 \text{ см}$$, заключенные между двумя параллельными плоскостями. Пусть $$d$$ - расстояние между плоскостями. Обозначим проекции отрезков на одну из плоскостей как $$p_1$$ и $$p_2$$, соответственно. По условию, $$p_1 + p_2 = 21 \text{ см}$$.

Пусть $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$ - углы, которые отрезки образуют с плоскостью. Тогда проекции отрезков можно выразить как:

$$p_1 = l_1 \cos(\alpha_1)$$,

$$p_2 = l_2 \cos(\alpha_2)$$.

Расстояние между плоскостями $$d$$ можно выразить через синусы этих углов:

$$d = l_1 \sin(\alpha_1)$$,

$$d = l_2 \sin(\alpha_2)$$.

Тогда, $$\sin(\alpha_1) = \frac{d}{l_1}$$ и $$\sin(\alpha_2) = \frac{d}{l_2}$$.

Так как $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$, имеем:

$$\cos(\alpha_1) = \sqrt{1 - \frac{d^2}{l_1^2}}$$,

$$\cos(\alpha_2) = \sqrt{1 - \frac{d^2}{l_2^2}}$$.

Подставим эти выражения в уравнение для проекций:

$$p_1 = l_1 \sqrt{1 - \frac{d^2}{l_1^2}} = \sqrt{l_1^2 - d^2}$$,

$$p_2 = l_2 \sqrt{1 - \frac{d^2}{l_2^2}} = \sqrt{l_2^2 - d^2}$$.

Тогда, $$p_1 + p_2 = \sqrt{l_1^2 - d^2} + \sqrt{l_2^2 - d^2} = 21$$.

Подставим известные значения $$l_1 = 13$$ и $$l_2 = 20$$:

$$\sqrt{13^2 - d^2} + \sqrt{20^2 - d^2} = 21$$,

$$\sqrt{169 - d^2} + \sqrt{400 - d^2} = 21$$,

$$\sqrt{400 - d^2} = 21 - \sqrt{169 - d^2}$$.

Возведем обе части в квадрат:

$$400 - d^2 = 441 - 42\sqrt{169 - d^2} + 169 - d^2$$,

$$400 - d^2 = 610 - 42\sqrt{169 - d^2} - d^2$$,

$$42\sqrt{169 - d^2} = 210$$,

$$\sqrt{169 - d^2} = 5$$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$$169 - d^2 = 25$$,

$$d^2 = 144$$,

$$d = 12 \text{ см}$$.

Ответ: 12 см