Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шел с постоянной скоростью. Один шел из А в В, другой - из В в А. Они встретились в полдень и, не прекращая движения, пришли: один в В в 4 часа вечера, а другой в А в 9 часов вечера. В котором часу в тот день был рассвет?

Решение:

Пусть расстояние между А и В равно S. Скорость первого пешехода (из А в В) равна v1, а второго (из В в А) равна v2.

Пешеходы встретились в полдень. Это значит, что до встречи они шли одинаковое время. Пусть это время равно t.

Когда они встретились, первый пешеход прошёл расстояние v1 * t, а второй — v2 * t. Сумма этих расстояний равна общему расстоянию S, то есть v1 * t + v2 * t = S.

После встречи первый пешеход дошёл до В за 4 часа, а второй — до А за 9 часов.

Расстояние, которое прошёл первый пешеход после встречи, равно v1 * 4. Это расстояние также равно S - v1 * t.

Расстояние, которое прошёл второй пешеход после встречи, равно v2 * 9. Это расстояние также равно S - v2 * t.

Из этих условий мы можем выразить:

v1 * 4 = S - v1 * t => v1 * (4 + t) = S

v2 * 9 = S - v2 * t => v2 * (9 + t) = S

Поскольку S одинаково, то v1 * (4 + t) = v2 * (9 + t).

Из уравнения v1 * t + v2 * t = S, мы можем выразить t, подставив S:

t * (v1 + v2) = v1 * (4 + t)

t * v1 + t * v2 = 4 * v1 + v1 * t

t * v2 = 4 * v1 => t = 4 * (v1 / v2)

Также из v1 * (4 + t) = S и v2 * (9 + t) = S:

v1 / v2 = (9 + t) / (4 + t)

Подставим t = 4 * (v1 / v2) в последнее уравнение:

v1 / v2 = (9 + 4 * (v1 / v2)) / (4 + 4 * (v1 / v2))

Пусть x = v1 / v2. Тогда:

x = (9 + 4x) / (4 + 4x)

x * (4 + 4x) = 9 + 4x

4x + 4x^2 = 9 + 4x

4x^2 = 9

x^2 = 9 / 4

x = 3 / 2 (так как скорости положительны).

Значит, v1 / v2 = 3 / 2.

Теперь найдём t:

t = 4 * x = 4 * (3 / 2) = 6 часов.

Пешеходы встретились через 6 часов после рассвета. Так как они встретились в полдень (12:00), то рассвет был за 6 часов до полудня.

12:00 - 6 часов = 6:00.

Другой способ решения (через время):

Пусть время от рассвета до полудня равно t.

Время, за которое первый пешеход прошёл всё расстояние S, равно t + 4 часа.

Время, за которое второй пешеход прошёл всё расстояние S, равно t + 9 часов.

Тогда скорости пешеходов:

v1 = S / (t + 4)

v2 = S / (t + 9)

Они встретились в полдень, то есть через t часов после выхода.

Расстояние, которое прошёл первый пешеход за время t: v1 * t = S * t / (t + 4).

Расстояние, которое прошёл второй пешеход за время t: v2 * t = S * t / (t + 9).

Сумма этих расстояний равна S:

S * t / (t + 4) + S * t / (t + 9) = S

Сокращаем на S:

t / (t + 4) + t / (t + 9) = 1

Умножаем всё на (t + 4)(t + 9):

t * (t + 9) + t * (t + 4) = (t + 4)(t + 9)

t^2 + 9t + t^2 + 4t = t^2 + 9t + 4t + 36

2t^2 + 13t = t^2 + 13t + 36

2t^2 = t^2 + 36

t^2 = 36

t = 6 часов (так как время положительно).

Полдень — это 12:00. Рассвет был за 6 часов до полудня.

12:00 - 6 часов = 6:00.

Ответ: Рассвет в тот день был в 6 часов.