Два проводящих шара, радиусы которых R₁ = 10 мм и R₂ = 60 мм, находятся на большом расстоянии друг от друга. Потенциал первого шара равен ф, второй шар не заряжен. Во сколько раз уменьшится потенциал первого шара, если их соединить проводником?

Решение:

Когда два проводящих шара соединяются проводником, заряд перераспределяется между ними таким образом, чтобы их потенциалы стали равными. Так как шары находятся на большом расстоянии друг от друга, можно считать, что их взаимным влиянием можно пренебречь, и каждый шар ведет себя как изолированный.

Потенциал проводящего шара радиусом \( R \) с зарядом \( Q \) равен \( \phi = \frac{kQ}{R} \), где \( k \) — постоянная Кулона.

Пусть \( Q_1 \) и \( Q_2 \) — начальные заряды первого и второго шара соответственно. По условию, \( Q_1 \) — начальный заряд первого шара, а \( Q_2 = 0 \) (второй шар не заряжен). Потенциал первого шара равен \( \phi_1 = \frac{kQ_1}{R_1} \).

После соединения проводником, когда потенциалы станут равными, пусть заряды будут \( Q'_1 \) и \( Q'_2 \). Тогда \( \phi'_1 = \frac{kQ'_1}{R_1} \) и \( \phi'_2 = \frac{kQ'_2}{R_2} \).

По закону сохранения заряда, общий заряд остается постоянным: \( Q_1 + Q_2 = Q'_1 + Q'_2 \). Так как \( Q_2 = 0 \), то \( Q_1 = Q'_1 + Q'_2 \).

После соединения шаров, их потенциалы равны: \( \phi'_1 = \phi'_2 \).

\( \frac{kQ'_1}{R_1} = \frac{kQ'_2}{R_2} \)

\( \frac{Q'_1}{R_1} = \frac{Q'_2}{R_2} \)

Отсюда \( Q'_2 = Q'_1 \frac{R_2}{R_1} \).

Подставим это в закон сохранения заряда:

\( Q_1 = Q'_1 + Q'_1 \frac{R_2}{R_1} = Q'_1 \left( 1 + \frac{R_2}{R_1} \right) = Q'_1 \frac{R_1 + R_2}{R_1} \)

Отсюда найдём \( Q'_1 \):

\( Q'_1 = Q_1 \frac{R_1}{R_1 + R_2} \)

Теперь найдём новый потенциал первого шара \( \phi'_1 \):

\( \phi'_1 = \frac{kQ'_1}{R_1} = \frac{k}{R_1} \left( Q_1 \frac{R_1}{R_1 + R_2} \right) = \frac{kQ_1}{R_1 + R_2} \)

Начальный потенциал первого шара был \( \phi_1 = \frac{kQ_1}{R_1} \).

Чтобы узнать, во сколько раз уменьшился потенциал, найдём отношение начального потенциала к конечному:

\( \frac{\phi_1}{\phi'_1} = \frac{\frac{kQ_1}{R_1}}{\frac{kQ_1}{R_1 + R_2}} = \frac{R_1 + R_2}{R_1} \)

Подставим значения радиусов: \( R_1 = 10 \) мм, \( R_2 = 60 \) мм.

\( \frac{\phi_1}{\phi'_1} = \frac{10 \text{ мм} + 60 \text{ мм}}{10 \text{ мм}} = \frac{70 \text{ мм}}{10 \text{ мм}} = 7 \)

Таким образом, потенциал первого шара уменьшится в 7 раз.

Ответ: в 7 раз.