Два прямоугольных треугольника ВОК и COL, где углы BOK и COL прямые, имеют общую вершину О (рис. 75), O-A-K, O-D-L, ∠KAB = ∠CDL, AO = OD и АК = DL. Докажите, что КВ = CL.

Решение:

Для доказательства равенства отрезков КВ и CL, мы можем использовать признаки равенства треугольников. Рассмотрим треугольники ΔOBK и ΔOCL.

1. Дано:
   • \[ \angle BOK = \angle COL = 90^{\circ} \]
   • \[ \angle KAB = \angle CDL \]
   • \[ AO = OD \]
   • \[ AK = DL \]
2. Найти: Доказать, что КВ = CL.
3. Доказательство:
   • Рассмотрим ΔAOB и ΔDOC.
   • 
     AO = OD (дано).
   • 
     ∠A = ∠D (дано).
   • 
     ∠AOB = ∠DOC (вертикальные углы).
   • Следовательно, ΔAOB = ΔDOC по двум углам и прилежащей стороне ( угла и сторона между ними).
   • Из равенства треугольников следует, что OB = OC.
   • Теперь рассмотрим ΔOBK и ΔOCL.
   • 
     OB = OC (доказано выше).
   • 
     ∠BOK = ∠COL = 90° (дано).
   • 
     AK = DL (дано).
   • 
     AO + AK = OK → OK = AO + DL
   • 
     OD + DL = OL → OL = OD + AK
   • Так как AO=OD и AK=DL, то OK = OL
   • Следовательно, ΔOBK = ΔOCL по двум катетам (первый признак равенства прямоугольных треугольников, если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого, то такие треугольники равны).
   • Из равенства треугольников ΔOBK и ΔOCL следует, что их соответствующие стороны равны: KB = CL.

Что и требовалось доказать.