Два равных острых угла с общей стороной DA и вершиной D в центре окружности пересекают её в трёх точках А, В и С. Каким фактом следует воспользоваться при доказательстве того, что общая сторона углов делит хорду ВС пополам? Дополните его формулировку.

Решение:

Для доказательства того, что общая сторона углов DA делит хорду BC пополам, следует воспользоваться свойством равнобедренного треугольника.

В данном случае, поскольку углы равны и имеют общую сторону DA, а вершина D находится в центре окружности, то треугольники, образованные этими углами и радиусами, являются равнобедренными.

Если два равных острых угла с общей стороной DA, где D — центр окружности, пересекают окружность в точках A, B, C, то хорда BC будет перпендикулярна радиусу DA, если A, D лежат на одной прямой, или в ином случае, если DA является биссектрисой угла BDC, то треугольник BDC будет равнобедренным, и DA будет его высотой и медианой.

Основной факт, который нужно использовать, заключается в том, что в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой.

Дополним формулировку:

В равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию высота является также медианой.