Два равных прямоугольника имеют общую вершину O (см. рис.). Докажите, что площади треугольников АОК и СОМ равны.

Решение:

Дано, что два прямоугольника равны и имеют общую вершину O. Пусть первый прямоугольник — ABCD, а второй — OMLK. Из условия следует, что AB=ML и BC=LM. Так как прямоугольники равны, то их соответствующие стороны равны.

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOK \) и \( \triangle COM \).

1. Стороны:

• \( AO = CO \) (так как O — центр прямоугольника ABCD, а диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам).
• \( OK = OM \) (так как O — центр прямоугольника OMLK, а диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам).

2. Углы:

• \( \angle AOK = \angle COM \) (как вертикальные углы).

3. Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• \( AO = CO \)
• \( OK = OM \)
• \( \angle AOK = \angle COM \)

Следовательно, \( \triangle AOK = \triangle COM \).

Так как треугольники равны, то их площади равны.

Ответ: Площади треугольников АОК и СОМ равны.