Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 15 и 42. Диагональ параллелепипеда равна 45. Найдите площадь поверхности параллелепипеда (см. рис. 422).

Пусть даны прямоугольный параллелепипед с ребрами $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Известно, что два ребра, выходящие из одной вершины, равны 15 и 42. Пусть $$a = 15$$ и $$b = 42$$. Также известна диагональ параллелепипеда $$d = 45$$. Необходимо найти площадь поверхности параллелепипеда.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

$$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$

Выразим $$c^2$$ из этого уравнения:

$$c^2 = d^2 - a^2 - b^2$$

Подставим известные значения $$a = 15$$, $$b = 42$$, $$d = 45$$:

$$c^2 = 45^2 - 15^2 - 42^2 = 2025 - 225 - 1764 = 36$$

Тогда $$c = \sqrt{36} = 6$$.

Теперь найдем площадь поверхности параллелепипеда, используя формулу $$S = 2(ab + bc + ac)$$:

$$S = 2(15 \cdot 42 + 42 \cdot 6 + 15 \cdot 6) = 2(630 + 252 + 90) = 2(972) = 1944$$

Ответ: Площадь поверхности параллелепипеда равна 1944.