Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. Построить ряд распределения Х и найти М (Х), D(X), где Х – общее число попаданий.

Решение:

Обозначим:

• \( p_1 \) - вероятность попадания первого стрелка = 0,5.


• \( q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0,5 = 0,5 \) - вероятность промаха первого стрелка.


• \( p_2 \) - вероятность попадания второго стрелка = 0,6.


• \( q_2 = 1 - p_2 = 1 - 0,6 = 0,4 \) - вероятность промаха второго стрелка.

Случайная величина \( X \) - общее число попаданий. \( X \) может принимать значения 0, 1, 2.

1. Построение ряда распределения X

• \( X=0 \) (промах обоих стрелков):



\( P(X=0) = q_1 \cdot q_2 = 0,5 \cdot 0,4 = 0,2 \)




• \( X=1 \) (попадание одного из стрелков):



Это может произойти двумя способами: первый попал, второй промахнулся, ИЛИ первый промахнулся, второй попал.




\( P(X=1) = (p_1 \cdot q_2) + (q_1 \cdot p_2) = (0,5 \cdot 0,4) + (0,5 \cdot 0,6) = 0,2 + 0,3 = 0,5 \)




• \( X=2 \) (попадание обоих стрелков):



\( P(X=2) = p_1 \cdot p_2 = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3 \)

Ряд распределения случайной величины X:

Проверка: \( 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1 \) (сумма вероятностей равна 1).

2. Нахождение математического ожидания M(X)

\( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \)

\( M(X) = 0 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,5 + 2 \cdot 0,3 \)
\( M(X) = 0 + 0,5 + 0,6 \)
\( M(X) = 1,1 \)

3. Нахождение дисперсии D(X)

Для начала найдём \( M(X^2) \): \( M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i \)

\( M(X^2) = 0^2 \cdot 0,2 + 1^2 \cdot 0,5 + 2^2 \cdot 0,3 \)
\( M(X^2) = 0 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,5 + 4 \cdot 0,3 \)
\( M(X^2) = 0 + 0,5 + 1,2 \)
\( M(X^2) = 1,7 \)

Теперь вычислим дисперсию: \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \)

\( D(X) = 1,7 - (1,1)^2 \)
\( D(X) = 1,7 - 1,21 \)
\( D(X) = 0,49 \)

Ответ: Ряд распределения X: (0; 0,2), (1; 0,5), (2; 0,3). Математическое ожидание M(X) = 1,1. Дисперсия D(X) = 0,49.