Два тела движутся со скоростями v₁ = 1 м/с и v₂ = 3 м/с по прямолинейным траекториям, которые пересекаются под прямым углом. Определите минимальное расстояние между телами S при их движении, если начальный момент скорости тел направлены к точке пересечения траекторий, и они находились на расстоянии L = 10 м от неё. В какой момент времени это произойдет?

Решение:

Пусть точка пересечения траекторий — начало координат (0,0). Скорости тел направлены вдоль осей Ox и Oy. Скорость первого тела \( v_1 = 1 \) м/с, второго — \( v_2 = 3 \) м/с. Начальное расстояние от точки пересечения — \( L = 10 \) м. Пусть первое тело находится на оси Ox, а второе — на оси Oy.

Координаты тел в момент времени \( t \) будут:

• Первое тело: \( x_1(t) = L - v_1 t = 10 - t \)
• Второе тело: \( y_1(t) = L - v_2 t = 10 - 3t \)

Расстояние \( S \) между телами в момент времени \( t \) находится по теореме Пифагора:

\[ S^2 = x_1(t)^2 + y_1(t)^2 \]\[ S^2 = (10 - t)^2 + (10 - 3t)^2 \]\[ S^2 = (100 - 20t + t^2) + (100 - 60t + 9t^2) \]\[ S^2 = 10t^2 - 80t + 200 \]

Найдём минимальное значение \( S \), продифференцировав \( S^2 \) по \( t \) и приравняв производную к нулю:

\( \frac{d(S^2)}{dt} = 20t - 80 \)

Приравняем к нулю:

\[ 20t - 80 = 0 \]\[ 20t = 80 \]\[ t = \frac{80}{20} = 4 \text{ с} \]

Теперь найдём минимальное расстояние \( S \) при \( t = 4 \) с:

\[ S^2 = 10(4)^2 - 80(4) + 200 \]\[ S^2 = 10(16) - 320 + 200 \]\[ S^2 = 160 - 320 + 200 \]\[ S^2 = 40 \]\[ S = = 40 = 2 10 \text{ м} \]

Внимание! Условие задачи сформулировано некорректно: