Два тела движутся со скоростями v₁ = 1 м/с и v₂ = 3 м/с по прямолинейным траекториям, которые пересекаются под прямым углом. Определите минимальное расстояние между телами S при их движении, если начальный момент скорости тел направлены к точке пересечения траекторий, и они находились на расстоянии L = 10 м от неё. В какой момент времени это произойдет?

Решение:

Пусть точка пересечения траекторий будет началом координат (0, 0). Скорости тел направлены к началу координат, поэтому их можно представить как векторы скорости, направленные вдоль осей.

Положение тел в момент времени t можно описать следующим образом:

• Тело 1: \( x_1(t) = L - v_1 t \), \( y_1(t) = 0 \)
• Тело 2: \( x_2(t) = 0 \), \( y_2(t) = L - v_2 t \)

Расстояние между телами в момент времени t равно:

\[ S(t) = \sqrt{(x_1(t) - x_2(t))^2 + (y_1(t) - y_2(t))^2} \]\[ S(t) = \sqrt{(L - v_1 t - 0)^2 + (0 - (L - v_2 t))^2} \]\[ S(t) = \sqrt{(L - v_1 t)^2 + (-(L - v_2 t))^2} \]\[ S(t) = \sqrt{(L - v_1 t)^2 + (L - v_2 t)^2} \]

Чтобы найти минимальное расстояние, нужно минимизировать квадрат расстояния \( S^2(t) \), так как \( S(t) \) неотрицательно.

\[ f(t) = S^2(t) = (L - v_1 t)^2 + (L - v_2 t)^2 \]

Найдем производную \( f(t) \) по времени t и приравняем её к нулю:

\[ f'(t) = 2(L - v_1 t)(-v_1) + 2(L - v_2 t)(-v_2) \]\[ f'(t) = -2v_1(L - v_1 t) - 2v_2(L - v_2 t) \]

Приравняем производную к нулю:

\[ -2v_1 L + 2v_1^2 t - 2v_2 L + 2v_2^2 t = 0 \]\[ 2t(v_1^2 + v_2^2) = 2L(v_1 + v_2) \]\[ t = \frac{L(v_1 + v_2)}{v_1^2 + v_2^2} \]

Подставим данные значения: \( L = 10 \) м, \( v_1 = 1 \) м/с, \( v_2 = 3 \) м/с.

\[ t = \frac{10(1 + 3)}{1^2 + 3^2} = \frac{10 \cdot 4}{1 + 9} = \frac{40}{10} = 4 \text{ с} \]

Теперь найдем минимальное расстояние, подставив найденное время \( t = 4 \) с в формулу расстояния \( S(t) \).

\[ S_{min} = \sqrt{(10 - 1 · 4)^2 + (10 - 3 · 4)^2} \]\[ S_{min} = \sqrt{(10 - 4)^2 + (10 - 12)^2} \]\[ S_{min} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} \]\[ S_{min} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \]\[ S_{min} = \sqrt{4 · 10} = 2\sqrt{10} \text{ м} \]

Ответ: Минимальное расстояние между телами составит \( 2\sqrt{10} \) м, и это произойдет в момент времени \( 4 \) с.