Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 5 км. Через 30 минут туристы встретились и, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Первый турист прибыл в пункт В на 25 минут позже, чем второй турист в пункт А. Определите скорость каждого туриста. Скорость первого туриста, направляющегося в пункт В. Скорость второго туриста, следующего в пункт А.

Пусть (v_1) – скорость первого туриста (км/мин), а (v_2) – скорость второго туриста (км/мин). Время до встречи – 30 минут. Расстояние между пунктами A и B – 5 км.

Тогда до встречи первый турист прошел расстояние (30v_1), а второй – (30v_2). Вместе они прошли все расстояние между A и B:

$$30v_1 + 30v_2 = 5$$

Отсюда выразим сумму скоростей:

$$v_1 + v_2 = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$$

После встречи первому туристу нужно пройти расстояние (30v_2), а второму – (30v_1). Известно, что первый турист прибыл в пункт B на 25 минут позже, чем второй в пункт A. Выразим время, которое каждый из них затратил на оставшийся путь:

Время первого туриста: (\frac{30v_2}{v_1})

Время второго туриста: (\frac{30v_1}{v_2})

Разница во времени составляет 25 минут:

$$\frac{30v_2}{v_1} - \frac{30v_1}{v_2} = 25$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{30v_2^2 - 30v_1^2}{v_1v_2} = 25$$

Разделим обе части на 5:

$$\frac{6(v_2^2 - v_1^2)}{v_1v_2} = 5$$

Раскладываем разность квадратов:

$$\frac{6(v_2 - v_1)(v_2 + v_1)}{v_1v_2} = 5$$

Подставляем (v_1 + v_2 = \frac{1}{6}):

$$\frac{6(v_2 - v_1) \cdot \frac{1}{6}}{v_1v_2} = 5$$

$$\frac{v_2 - v_1}{v_1v_2} = 5$$

$$v_2 - v_1 = 5v_1v_2$$

Выразим (v_2) через (v_1):

$$v_2 = \frac{1}{6} - v_1$$

Подставим в уравнение (v_2 - v_1 = 5v_1v_2):

$$\frac{1}{6} - v_1 - v_1 = 5v_1(\frac{1}{6} - v_1)$$

$$\frac{1}{6} - 2v_1 = \frac{5}{6}v_1 - 5v_1^2$$

Умножим на 6:

$$1 - 12v_1 = 5v_1 - 30v_1^2$$

$$30v_1^2 - 17v_1 + 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 30 \cdot 1 = 289 - 120 = 169$$

$$\sqrt{D} = 13$$

$$v_1 = \frac{17 \pm 13}{2 \cdot 30}$$

Получаем два возможных значения для (v_1):

$$v_{1,1} = \frac{17 + 13}{60} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$$

$$v_{1,2} = \frac{17 - 13}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$$

Если (v_1 = \frac{1}{2}), то (v_2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1 - 3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}). Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.

Если (v_1 = \frac{1}{15}), то (v_2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}).

Тогда скорость первого туриста: (\frac{1}{15}) км/мин, а скорость второго: (\frac{1}{10}) км/мин.

Переведем скорости в км/ч:

$$v_1 = \frac{1}{15} \cdot 60 = 4 \text{ км/ч}$$

$$v_2 = \frac{1}{10} \cdot 60 = 6 \text{ км/ч}$$

Ответ: Скорость первого туриста (направляющегося в пункт B) равна 4 км/ч, а скорость второго туриста (следующего в пункт A) равна 6 км/ч.