1. Два угла треугольника равны 37° и 79°. Определите, против какого угла треугольника лежит большая сторона. 2. Внешний угол равнобедренного треугольника равен 106°. Найти углы треугольника. 3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол В равен 38°. Чему равен угол А? 4. В треугольнике ВДС угол Д равен 60°, угол В равен 90°, ВС = 4,8 см. Найти СД. 5. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, равна 6,3 см, один из углов 120°. Найти боковую сторону треугольника. 6. Найдите равные треугольники. Докажите равенство этих треугольников. 7. Постройте треугольник по двум сторонам и тупому углу. Запишите алгоритм построения.

1. Два угла треугольника равны 37° и 79°. Определите, против какого угла треугольника лежит большая сторона.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, третий угол равен: 180° - 37° - 79° = 64°.

Большая сторона лежит против большего угла. Самый большой угол - 79°, значит, против него лежит большая сторона.

Ответ: Большая сторона лежит против угла в 79°.

2. Внешний угол равнобедренного треугольника равен 106°. Найти углы треугольника.

Внешний угол равен 106°, значит, смежный с ним внутренний угол равен: 180° - 106° = 74°.

Рассмотрим два случая:

1. Если угол при основании равен 74°, то второй угол при основании тоже равен 74°. Тогда угол при вершине равен: 180° - 74° - 74° = 32°. В этом случае углы треугольника равны 74°, 74° и 32°.
2. Если угол при вершине равен 74°, то углы при основании равны: (180° - 74°) / 2 = 53°. В этом случае углы треугольника равны 74°, 53° и 53°.

Ответ: Углы треугольника равны 74°, 74° и 32° или 74°, 53° и 53°.

3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол В равен 38°. Чему равен угол А?

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Угол А = 90° - угол В = 90° - 38° = 52°.

Ответ: Угол А равен 52°.

4. В треугольнике ВДС угол Д равен 60°, угол В равен 90°, ВС = 4,8 см. Найти СД.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Угол С равен 180° - 90° - 60° = 30°.

Тогда ВД = 1/2 * СД.

По теореме Пифагора: ВД² + ВС² = СД².

(1/2 * СД)² + ВС² = СД².

ВС² = СД² - (1/4) * СД² = (3/4) * СД².

СД² = (4/3) * ВС².

СД = √(4/3) * ВС = 2 / √3 * 4,8 = 9,6 / √3 = (9,6 * √3) / 3 = 3,2 * √3 ≈ 5,54 см.

Ответ: СД ≈ 5,54 см.

5. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, равна 6,3 см, один из углов 120°. Найти боковую сторону треугольника.

Если один из углов равен 120°, то это угол при вершине, так как углы при основании должны быть острыми. Тогда углы при основании равны: (180° - 120°) / 2 = 30°.

Биссектриса, проведённая к основанию, также является высотой и медианой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный биссектрисой и половиной основания. В этом треугольнике угол при основании равен 30°.

Биссектриса равна 6,3 см. Обозначим половину основания за x. Тогда:

tg(30°) = x / 6,3

x = 6,3 * tg(30°) = 6,3 * (1 / √3) = 6,3 / √3 = (6,3 * √3) / 3 = 2,1 * √3.

Тогда основание равно 2 * x = 4,2 * √3.

Теперь рассмотрим исходный равнобедренный треугольник. Высота (биссектриса) равна 6,3 см, а половина основания равна 2,1 * √3.

По теореме Пифагора: боковая сторона² = высота² + (половина основания)².

Боковая сторона² = 6,3² + (2,1 * √3)² = 39,69 + 4,41 * 3 = 39,69 + 13,23 = 52,92.

Боковая сторона = √52,92 ≈ 7,27 см.

Ответ: Боковая сторона треугольника ≈ 7,27 см.

6. Найдите равные треугольники. Докажите равенство этих треугольников.

Рассмотрим треугольники RES и REP.

• ER - общая сторона.
• ∠RES = ∠REP = 90° (по условию).
• ∠ERS = ∠ERP (по условию).

Следовательно, треугольники RES и REP равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

Ответ: Треугольники RES и REP равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

7. Постройте треугольник по двум сторонам и тупому углу. Запишите алгоритм построения.

Алгоритм построения треугольника по двум сторонам и тупому углу:

1. Начертите прямую.
2. Отметьте на прямой точку А.
3. С помощью транспортира отложите от точки А тупой угол (например, угол α).
4. На одной стороне угла отложите отрезок АВ, равный одной из данных сторон.
5. На другой стороне угла отложите отрезок АС, равный другой данной стороне.
6. Соедините точки В и С.

Полученный треугольник АВС - искомый.

Ответ: Алгоритм построения треугольника по двум сторонам и тупому углу выполнен.