Два велосипедиста, находясь на расстоянии 153 км друг от друга, начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Первый велосипедист едет со скоростью 10 км/ч, второй в первый час проехал 3 км, а в каждый последующий — на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов велосипедисты встретятся?

Решение:

Обозначим время движения через \( t \) часов.

Скорость первого велосипедиста: \( v_1 = 10 \) км/ч.

Расстояние, пройденное первым велосипедистом за \( t \) часов: \( S_1 = v_1 · t = 10t \) км.

Скорость второго велосипедиста меняется. Расстояние, пройденное им:

• За 1-й час: \( S_{2,1} = 3 \) км.
• За 2-й час: \( S_{2,2} = 3 + 5 = 8 \) км.
• За 3-й час: \( S_{2,3} = 8 + 5 = 13 \) км.
• ...
• За \( t \)-й час: \( S_{2,t} = 3 + (t-1) · 5 \) км.

Общее расстояние, пройденное вторым велосипедистом за \( t \) часов, — это сумма арифметической прогрессии:

\( S_2 = \frac{(S_{2,1} + S_{2,t}) · t}{2} = \frac{(3 + 3 + (t-1) · 5) · t}{2} = \frac{(6 + 5t - 5) · t}{2} = \frac{(1 + 5t) · t}{2} = \frac{5t^2 + t}{2} \) км.

Когда велосипедисты встретятся, сумма пройденных ими расстояний будет равна начальному расстоянию между ними:

\( S_1 + S_2 = 153 \)

\( 10t + \frac{5t^2 + t}{2} = 153 \)

Умножим обе части уравнения на 2:

\( 20t + 5t^2 + t = 306 \)

\( 5t^2 + 21t - 306 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 · 5 · (-306) = 441 + 6120 = 6561 \]

Извлечем корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{6561} = 81 \]

Найдем время \( t \):

\[ t = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} = \frac{-21 ± 81}{2 · 5} = \frac{-21 ± 81}{10} \]

Рассмотрим два случая:

\[ t_1 = \frac{-21 + 81}{10} = \frac{60}{10} = 6 \] часов.

\[ t_2 = \frac{-21 - 81}{10} = \frac{-102}{10} = -10.2 \] часов (этот корень не подходит, так как время не может быть отрицательным).

Проверим ответ:

За 6 часов первый велосипедист проедет \( 10 · 6 = 60 \) км.

Расстояние, пройденное вторым за 6 часов:

• 1-й час: 3 км
• 2-й час: 8 км
• 3-й час: 13 км
• 4-й час: 18 км
• 5-й час: 23 км
• 6-й час: 28 км

Всего: \( 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 = 93 \) км.

Общее расстояние: \( 60 + 93 = 153 \) км.

Ответ: 6 часов.