Две деревни расположены на берегу реки, скорость течения которой постоянна. Лодка, двигаясь с постоянной скоростью от одной деревни до другой, затратила на путь по течению реки 3 часа, а на обратный путь – 5 часов. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки, если длина пути от одной деревни до другой, по которому плыла лодка, составляет 90 километров.

Пусть v_л - собственная скорость лодки, v_т - скорость течения реки.

Расстояние между деревнями равно 90 км. Когда лодка плывет по течению, ее скорость увеличивается на скорость течения, а когда против течения - уменьшается.

Время, затраченное на путь по течению, составляет 3 часа, а против течения - 5 часов.

Составим систему уравнений, используя формулу расстояние = скорость * время:

$$ \begin{cases} (v_л + v_т) * 3 = 90 \\ (v_л - v_т) * 5 = 90 \end{cases} $$

Решим эту систему уравнений.

Разделим первое уравнение на 3, а второе на 5:

$$ \begin{cases} v_л + v_т = 30 \\ v_л - v_т = 18 \end{cases} $$

Сложим оба уравнения, чтобы исключить v_т:

$$2v_л = 48$$

Найдем v_л:

$$v_л = \frac{48}{2} = 24$$Подставим значение v_л в первое уравнение (v_л + v_т = 30):

$$24 + v_т = 30$$

Найдем v_т:

$$v_т = 30 - 24 = 6$$

Таким образом, собственная скорость лодки равна 24 км/ч, а скорость течения реки равна 6 км/ч.

Ответ: Скорость лодки: 24 км/ч, Скорость течения: 6 км/ч