Две хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра. Докажите, что они равны.

Доказательство:

1. Пусть даны две хорды AB и CD окружности с центром O, находящиеся на равном расстоянии от центра O. Это означает, что перпендикуляры, опущенные из O на AB и CD, равны. Обозначим основания этих перпендикуляров как точки M и N соответственно. Тогда OM = ON.
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники OMA и ONC. У них OM = ON (по условию), OA = OC (как радиусы одной и той же окружности).
3. Следовательно, треугольники OMA и ONC равны по гипотенузе и катету (по признаку равенства прямоугольных треугольников).
4. Из равенства треугольников OMA и ONC следует равенство соответствующих катетов: AM = CN.
5. Поскольку перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам, то AM = MB и CN = ND.
6. Тогда AB = 2 * AM и CD = 2 * CN.
7. Так как AM = CN, то 2 * AM = 2 * CN, следовательно, AB = CD.

Ответ: Хорды AB и CD равны.