Две машинистки, работая одновременно, перепечатывают рукопись за 3 часа 20 мин. Скорости работы машинисток относятся как 2 : 5. За сколько времени одна машинистка, работающая быстрее, перепечатает рукопись?

Решение:

Обозначим скорости машинисток как \(v_1\) и \(v_2\). По условию \(v_1 : v_2 = 2 : 5\). Пусть \(v_1 = 2x\) и \(v_2 = 5x\). Объем рукописи обозначим как \(V\).

Обе машинистки, работая одновременно, перепечатывают рукопись за 3 часа 20 минут. Переведем это время в минуты: \(3 \text{ часа } 20 \text{ мин} = 3 \times 60 + 20 = 180 + 20 = 200 \text{ мин}\).

Когда они работают одновременно, их скорости складываются: \(v_{1+2} = v_1 + v_2 = 2x + 5x = 7x\).

Объем работы \(V\) равен скорости, умноженной на время: \(V = v_{1+2} \times t = 7x \times 200 \text{ мин} = 1400x \text{ мин}\).

Теперь найдем время, за которое более быстрая машинистка (со скоростью \(v_2 = 5x\)) перепечатает рукопись. Формула для времени: \(t = \frac{V}{v}\).

Время для более быстрой машинистки: \(t_2 = \frac{V}{v_2} = \frac{1400x \text{ мин}}{5x} = 280 \text{ мин}\).

Переведем 280 минут в часы и минуты: \(280 \text{ мин} = 4 \times 60 + 40 \text{ мин} = 4 \text{ часа } 40 \text{ мин}\).

Ответ: одна машинистка, работающая быстрее, перепечатает рукопись за 4 часа 40 мин.