Две медианы треугольника равны 6√3 и 12 и пересекаются под углом 150°. Найдите стороны этого треугольника.

Точка пересечения медиан — центр тяжести. Она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. По рисунку расстояния от центра тяжести до вершин A и B равны соответственно \(6\sqrt3\) и 12. Угол между этими отрезками равен 150°.

Обозначим векторы из центра тяжести к вершинам A и B через \(\vec u\) и \(\vec v\). Тогда \(|\vec u|=6\sqrt3\), \(|\vec v|=12\), а \(\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos150°=-36\sqrt3\). Вектор к вершине C равен \(-\vec u-\vec v\).

Сторона AB:

\(AB^2=|\vec u-\vec v|^2=108+144-2(-36\sqrt3)\cdot 2=468\), поэтому \(AB=6\sqrt{13}\).

Сторона AC: вектор \(\overrightarrow{AC}=-2\vec u-\vec v\), поэтому

\(AC^2=|2\vec u+\vec v|^2=4\cdot108+144+4(-36\sqrt3)=576-144\sqrt3\), откуда \(AC=12\sqrt{4-\sqrt3}\).

Сторона BC: вектор \(\overrightarrow{BC}=\vec u+2\vec v\), поэтому

\(BC^2=108+4\cdot144+4(-36\sqrt3)=684-144\sqrt3\), откуда \(BC=6\sqrt{19-4\sqrt3}\).

Ответ: \(AB=6\sqrt{13}\), \(AC=12\sqrt{4-\sqrt3}\), \(BC=6\sqrt{19-4\sqrt3}\).