Две однородных шарообразных планеты «Альфа» и «Бета» находятся далеко друг от друга. Геометрические размеры планет, а также их плотности, указаны на рисунке: радиус планеты «Альфа» равен \(2R\), её плотность — \(\rho/4\); радиус планеты «Бета» равен \(R\), её плотность — \(\rho\). Объём шара вычисляется по формуле \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\), где \(r\) — радиус шара. Используя рисунок, выберите из предложенного перечня два верных утверждения: 1) Объём планеты «Альфа» в два раза больше объёма планеты «Бета». 2) Масса планеты «Альфа» в два раза меньше массы планеты «Бета». 3) Наибольшее ускорение свободного падения вблизи своей поверхности имеет планета «Бета». 4) Первые космические скорости для планет «Альфа» и «Бета» равны. 5) Спутник будет иметь наименьший период обращения вокруг планеты «Альфа».

Обозначим индексы \(А\) и \(Б\) для планет «Альфа» и «Бета».

1. Объём пропорционален кубу радиуса: \(V_A/V_Б=(2R)^3/R^3=8\). Поэтому утверждение 1 неверно.

2. Масса равна произведению плотности на объём: \(M_A/M_Б=(\rho/4)\cdot 8R^3/(\rho R^3)=2\). Масса «Альфы» вдвое больше, а не меньше, поэтому утверждение 2 неверно.

3. Ускорение свободного падения у поверхности однородного шара \(g=GM/r^2=\frac{4}{3}\pi G\rho r\). Следовательно, \(g_A/g_Б=((\rho/4)\cdot 2R)/(\rho R)=1/2\). У «Беты» ускорение больше, поэтому утверждение 3 верно.

4. Первая космическая скорость \(v_1=\sqrt{GM/r}=r\sqrt{\frac{4}{3}\pi G\rho}\). Отношение скоростей равно \(v_{1A}/v_{1Б}=2\sqrt{1/4}=1\), поэтому утверждение 4 верно.

5. Для спутника на высоте, равной нулю, период обращения \(T=2\pi\sqrt{r^3/(GM)}=\sqrt{3\pi/(G\rho)}\). При плотности «Альфы» \(\rho/4\) её период вдвое больше периода у «Беты», а не меньше. Утверждение 5 неверно.

Ответ: верны утверждения 3 и 4.