Две окружности имеют общую хорду, которая является стороной правильного треугольника, вписанного в первую окружность, и стороной правильного четырехугольника, вписанного во вторую окружность. Найдите значение выражения 3·\frac{S_1}{S_2}, где S₁ и S₂ – площади кругов, ограниченных первой и второй окружностями соответственно.

Ответ: 9/8

Пусть сторона правильного треугольника и квадрата равна a.

Шаг 1: Найдем радиус первой окружности (описанной около правильного треугольника).

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен:

\[R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}\]

Шаг 2: Найдем радиус второй окружности (описанной около квадрата).

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата:

\[R_2 = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]

Шаг 3: Выразим площади кругов через радиусы.

Площадь круга вычисляется по формуле:

\[S = \pi R^2\]

Тогда:

\[S_1 = \pi R_1^2 = \pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{3}\] \[S_2 = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{2}\]

Шаг 4: Найдем отношение площадей.

\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{\pi a^2}{3}}{\frac{\pi a^2}{2}} = \frac{2}{3}\]

Шаг 5: Вычислим значение выражения.

\[3 \cdot \frac{S_1}{S_2} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8}\]

Ответ: 9/8