Две окружности касаются внешним образом. Радиус меньшей окружности равен 4 см. Длина отрезка АВ внешней касательной, где А и В — точки касания, равна 12 см. Найдите радиус большей окружности. При решении задания необходимо сделать рисунок.

Решение:

Для решения этой задачи построим рисунок. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, r₁ — радиус меньшей окружности, r₂ — радиус большей окружности. Точки касания на меньшей и большей окружностях обозначим как A и B соответственно.

По условию задачи:

• r₁ = 4 см
• AB = 12 см

Так как AB — внешняя касательная, то радиусы O₁A и O₂B перпендикулярны ей. Следовательно, O₁A || O₂B.

Чтобы найти r₂, проведём через центр меньшей окружности O₁ прямую, параллельную касательной AB. Опустим из O₂ перпендикуляр на эту прямую. Получится прямоугольник ABO₂C, где C — точка на O₂B.

В этом прямоугольнике:

• AC = O₁B = r₂
• O₁C = AB = 12 см

Длина отрезка O₂C равна разности радиусов:

O₂C = O₂B - CB = r₂ - r₁ = r₂ - 4.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник O₁CO₂:

Гипотенуза O₁O₂ равна сумме радиусов, так как окружности касаются внешним образом: O₁O₂ = r₁ + r₂ = 4 + r₂.

По теореме Пифагора для треугольника O₁CO₂:

O₁O₂² = O₁C² + O₂C²

\[ (4 + r_2)^2 = 12^2 + (r_2 - 4)^2 \]

\[ 16 + 8r_2 + r_2^2 = 144 + r_2^2 - 8r_2 + 16 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 16 + 8r_2 + r_2^2 = 160 + r_2^2 - 8r_2 \]

Вычтем r₂² из обеих частей:

\[ 16 + 8r_2 = 160 - 8r_2 \]

Перенесём члены с r₂ в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 8r_2 + 8r_2 = 160 - 16 \]

\[ 16r_2 = 144 \]

Разделим обе части на 16:

\[ r_2 = \frac{144}{16} \]

\[ r_2 = 9 \]

Итак, радиус большей окружности равен 9 см.

Рисунок:

Ответ: 9 см.