374. Две окружности касаются внешним образом в точке К (рис. 345). Прямая АВ — их общая внешняя касательная, где А и В — точ- ки касания. Прямая КМ — общая внутренняя касательная этих окружностей. Докажите, что: a) KM = 1/2 AB; б) ∠AKB = 90°.

• a) Докажем, что KM = 1/2 AB:
• Пусть O₁ и O₂ - центры окружностей, R и r - их радиусы.
• KM - общая внутренняя касательная, поэтому AK и BK - касательные к окружностям.
• Пусть C - точка пересечения KM и AB. Тогда AC = CK и CB = CK (как отрезки касательных, проведенных из одной точки).
• Следовательно, AC = CK = CB, значит, C - середина AB и KM.
• Тогда KM = 2 * CK, а AB = 2 * AC. Так как AC = CK, то KM = AB / 2.
• б) Докажем, что ∠AKB = 90°:
• ∠AKC = ∠BAC и ∠BKC = ∠ABC (как углы между касательной и хордой).
• ∠AKB = ∠AKC + ∠BKC = ∠BAC + ∠ABC.
• В треугольнике ABK: ∠AKB + ∠BAC + ∠ABC = 180°.
• Следовательно, 2 * ∠AKB = 180°, значит, ∠AKB = 90°.

Ответ: Доказано.