Две окружности радиусами 36 и 25 касаются внешним образом. Найдите длину отрезка их общей касательной, заключённого между точками касания.

Решение:

Пусть \( r_1 = 36 \) и \( r_2 = 25 \) — радиусы двух окружностей. Обозначим центры окружностей как \( O_1 \) и \( O_2 \) соответственно. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: \( d = O_1 O_2 = r_1 + r_2 = 36 + 25 = 61 \).

Пусть \( AB \) — отрезок общей внешней касательной, где \( A \) и \( B \) — точки касания с первой и второй окружностью соответственно. Проведём перпендикуляры \( O_1A \) и \( O_2B \) к касательной \( AB \). Тогда \( O_1A = r_1 \) и \( O_2B = r_2 \).

Построим прямоугольную трапецию \( O_1ABO_2 \). Проведём из \( O_2 \) прямую, параллельную \( AB \), до пересечения с \( O_1A \) в точке \( C \). Получим прямоугольник \( CABO_2 \), где \( O_2C = AB \) и \( AC = O_2B = r_2 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( O_1CO_2 \). Гипотенуза \( O_1O_2 = d = 61 \). Катет \( O_1C = O_1A - AC = r_1 - r_2 = 36 - 25 = 11 \).

По теореме Пифагора найдём длину катета \( O_2C \), которая равна длине отрезка касательной \( AB \):

\[ O_2C^2 + O_1C^2 = O_1O_2^2 \]

\[ AB^2 + 11^2 = 61^2 \]

\[ AB^2 + 121 = 3721 \]

\[ AB^2 = 3721 - 121 = 3600 \]

\[ AB = \sqrt{3600} = 60 \]

Таким образом, длина отрезка общей касательной между точками касания равна 60.

Ответ: 60