Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, имеют одну общую точку А. КМ - касательная к окружностям. Найти: КМ.

Пошаговое решение:

1. Проведем радиусы O₁K и O₂M к точкам касания K и M. Так как KM - касательная, то углы O₁KM и O₂MK прямые.
2. Проведем линию O₂D параллельно KM, где D - точка на O₁K. Тогда O₂DKM - прямоугольник, и O₂D = KM и DK = O₂M = 4.
3. Найдем длину отрезка O₁D: O₁D = O₁K - DK = 9 - 4 = 5.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник O₁DO₂. По теореме Пифагора: \[O_1O_2^2 = O_1D^2 + O_2D^2\] Так как окружности касаются в точке A, то O₁O₂ = O₁A + O₂A = 9 + 4 = 13.
5. Подставим известные значения и найдем O₂D: \[13^2 = 5^2 + O_2D^2\] \[169 = 25 + O_2D^2\] \[O_2D^2 = 144\] \[O_2D = \sqrt{144} = 12\]
6. Так как O₂D = KM, то KM = 12.

Ответ: 12