1. Две различные окружности пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна отрезку АВ и делит его пополам. 2. Точки М и N являются серединами равных сторон AD и ВС четырёхугольника ABCD. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и CD пересекаются в точке Р. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку МN также проходит через точку Р.

Разбираемся:

Задача 1:

1. Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей. Прямая O₁O₂ является серединным перпендикуляром к отрезку AB, так как AO₁ = BO₁ и AO₂ = BO₂ (как радиусы).
2. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому O₁ и O₂ лежат на серединном перпендикуляре к AB.
3. Серединный перпендикуляр к отрезку является прямой, перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его середину. Таким образом, прямая, проходящая через центры окружностей, перпендикулярна отрезку AB и делит его пополам.

Задача 2:

1. Пусть серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P. Значит, PA = PB и PC = PD.
2. Так как AD = BC и M, N – середины сторон, то AM = (1/2)AD = (1/2)BC = BN.
3. Рассмотрим треугольники PAM и PBN. У них PA = PB, AM = BN и ∠PAM = ∠PBN (как углы при основании равнобедренных треугольников PAD и PBC). Следовательно, треугольники PAM и PBN равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Из равенства треугольников следует, что PM = PN. Значит, точка P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MN.

Ответ: Доказано.