Две стороны треугольника равны $$8\sqrt{2}$$ и 4, площадь треугольника равна 16. Найдите третью сторону треугольника, если известно, что он остроугольный.

Пусть a = $$8\sqrt{2}$$, b = 4, S = 16. Используем формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними:

$$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$$

Подставим известные значения:

$$16 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \sin(\gamma)$$ $$16 = 16\sqrt{2} \sin(\gamma)$$ $$\sin(\gamma) = \frac{16}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\gamma = 45^\circ$$ или $$\gamma = 135^\circ$$. Так как треугольник остроугольный, $$\gamma$$ не может быть $$135^\circ$$, значит $$\gamma = 45^\circ$$.

Теперь найдем третью сторону (c) по теореме косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$ $$c^2 = (8\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 8\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ)$$ $$c^2 = 128 + 16 - 64\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$c^2 = 144 - 64 = 80$$ $$c = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$$

Ответ: $$4\sqrt{5}$$