Две стороны треугольника равны 4√3 и 7, а угол между этими сторонами равен 30°. Решите этот треугольник. (Найдите все стороны и углы треугольника.)

Решение: 1. Найдем сторону BC (a) по теореме косинусов: $$a^2 = (4\sqrt{3})^2 + 7^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 7 \cdot \cos(30^\circ)$$ $$a^2 = 16 \cdot 3 + 49 - 56\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$a^2 = 48 + 49 - 56 \cdot \frac{3}{2}$$ $$a^2 = 97 - 28 \cdot 3$$ $$a^2 = 97 - 84 = 13$$ $$a = \sqrt{13}$$ Таким образом, $$BC = \sqrt{13}$$. 2. Найдем косинус угла B по теореме косинусов: $$(4\sqrt{3})^2 = (\sqrt{13})^2 + 7^2 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot 7 \cdot \cos(\angle B)$$ $$48 = 13 + 49 - 14\sqrt{13} \cdot \cos(\angle B)$$ $$14\sqrt{13} \cdot \cos(\angle B) = 14$$ $$\cos(\angle B) = \frac{1}{\sqrt{13}}$$ 3. Найдем косинус угла C по теореме косинусов: $$7^2 = (4\sqrt{3})^2 + (\sqrt{13})^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{13} \cdot \cos(\angle C)$$ $$49 = 48 + 13 - 8\sqrt{39} \cdot \cos(\angle C)$$ $$8\sqrt{39} \cdot \cos(\angle C) = 12$$ $$\cos(\angle C) = \frac{12}{8\sqrt{39}} = \frac{3}{2\sqrt{39}} = \frac{3\sqrt{39}}{2 \cdot 39} = \frac{\sqrt{39}}{26}$$ 4. Запишем ответы: * $$BC = \sqrt{13}$$ * $$\cos \angle B = \frac{1}{\sqrt{13}}$$ * $$\cos \angle C = \frac{\sqrt{39}}{26}$$