Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Обозначим третью сторону через c, а медиану к ней — через m. По теореме Аполлония:

\[10^2+12^2=2\left(5^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2\right).\]

\[244=50+\frac{c^2}{2},\qquad c^2=388,\qquad c=2\sqrt{97}.\]

Пусть h — высота к стороне c, а x — проекция медианы на эту сторону. Поскольку медиана делит сторону пополам, проекции высоты на два получившихся прямоугольных треугольника дают разность квадратов сторон:

\[12^2-10^2=4\cdot\frac{c}{2}\cdot x,\qquad 44=2cx,\qquad x=\frac{22}{c}=\frac{11}{\sqrt{97}}.\]

По теореме Пифагора для медианы и высоты:

\[h^2=5^2-x^2=25-\frac{121}{97}=\frac{2304}{97},\qquad h=\frac{48}{\sqrt{97}}.\]

Тогда площадь равна:

\[S=\frac12ch=\frac12\cdot2\sqrt{97}\cdot\frac{48}{\sqrt{97}}=48.\]

Ответ: 48.