Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними — 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Обозначим третью сторону через c. По теореме косинусов:

\(c^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos120^\circ\).

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем:

\(c^2=100+144+120=364\), поэтому \(c=\sqrt{364}=2\sqrt{91}\) см.

Площадь вычислим по формуле \(S=\frac12 ab\sin\gamma\):

\(S=\frac12\cdot10\cdot12\cdot\sin120^\circ=60\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3\) см².

Ответ: третья сторона — \(2\sqrt{91}\) см, площадь — \(30\sqrt3\) см².