Две стороны треугольника равны 4√2 и 6, площадь треугольника равна 12. Найдите третью сторону треугольника, если известно, что он остроугольный.

Пусть стороны треугольника a = 4√2, b = 6, и площадь S = 12. Формула площади треугольника: S = 1/2 * a * b * sin(γ), где γ - угол между сторонами a и b.

12 = 1/2 * 4√2 * 6 * sin(γ)

12 = 12√2 * sin(γ)

sin(γ) = 1/√2, следовательно γ = 45° или γ = 135°.

По теореме косинусов, третья сторона c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(γ).

Если γ = 45°, cos(γ) = 1/√2. c^2 = (4√2)^2 + 6^2 - 2 * 4√2 * 6 * (1/√2) = 32 + 36 - 48 = 20. c = √20 = 2√5.

Если γ = 135°, cos(γ) = -1/√2. c^2 = (4√2)^2 + 6^2 - 2 * 4√2 * 6 * (-1/√2) = 32 + 36 + 48 = 116. c = √116 = 2√29.

Так как треугольник остроугольный, все углы меньше 90°. Если бы c = 2√29, то угол напротив него был бы тупым (по теореме косинусов). Следовательно, третья сторона равна 2√5.