Две стороны треугольника равны $4\sqrt3$ и $7$, а угол между этими сторонами равен $30^\circ$. Решите этот треугольник (найдите все стороны и углы). На рисунке $AB=4\sqrt3$, $AC=7$, $\angle A=30^\circ$; требуется найти $BC$, $\cos B$ и $\cos C$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Две стороны треугольника равны $4\sqrt3$ и $7$, а угол между этими сторонами равен $30^\circ$. Решите этот…$ Фото задания

Две стороны треугольника равны $4\sqrt3$ и $7$, а угол между этими сторонами равен $30^\circ$. Решите этот треугольник (найдите все стороны и углы). На рисунке $AB=4\sqrt3$, $AC=7$, $\angle A=30^\circ$; требуется найти $BC$, $\cos B$ и $\cos C$.

Accepted Answer

Обозначим $BC=a$. По теореме косинусов:

$a^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A=(4\sqrt3)^2+7^2-2\cdot4\sqrt3\cdot7\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=48+49-84=13$, следовательно, $BC=\sqrt{13}$.
По теореме косинусов для угла $B$: $\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{48+13-49}{8\sqrt{39}}=\dfrac{3}{2\sqrt{39}}=\dfrac{\sqrt{39}}{26}$.
Для угла $C$: $\cos C=\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\dfrac{49+13-48}{14\sqrt{13}}=\dfrac{1}{\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{13}}{13}$.
Угол $B=\arccos\left(\dfrac{\sqrt{39}}{26}\right)\approx83.1^\circ$. Тогда $C=180^\circ-30^\circ-B\approx66.9^\circ$.

Ответ: стороны $4\sqrt3$, $7$, $\sqrt{13}$; углы $A=30^\circ$, $B\approx83.1^\circ$, $C\approx66.9^\circ$. $\cos B=\dfrac{\sqrt{39}}{26}$, $\cos C=\dfrac{\sqrt{13}}{13}$.