Две стороны треугольника равны 5 см и 13 см, а синус угла между ними равен \(\dfrac{2\sqrt6}{5}\). Найдите третью сторону треугольника.

По значению синуса возможны два угла: острый и дополнительный к нему. Поэтому рассмотрим оба варианта.

Из тождества \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):

\(\cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{2\sqrt6}{5}\right)^2=1-\dfrac{24}{25}=\dfrac{1}{25}\), значит, \(\cos\alpha=\dfrac15\) или \(\cos\alpha=-\dfrac15\).

По теореме косинусов для третьей стороны \(c\): \(c^2=5^2+13^2-2\cdot5\cdot13\cos\alpha\).

Если \(\cos\alpha=\dfrac15\), то \(c^2=194-26=168\), откуда \(c=2\sqrt{42}\) см.

Если \(\cos\alpha=-\dfrac15\), то \(c^2=194+26=220\), откуда \(c=2\sqrt{55}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{42}\) см или \(2\sqrt{55}\) см.