Две стороны треугольника равны 5 см и 13 см, а синус угла между ними равен \(\frac{2\sqrt{6}}{5}\). Найдите третью сторону треугольника.

По тождеству \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\):

\[\cos^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt6}{5}\right)^2=\frac1{25},\qquad \cos\alpha=\pm\frac15.\]

Синус заданного угла положителен, поэтому угол может быть острым или тупым. По теореме косинусов для третьей стороны \(c\):

\[c^2=5^2+13^2-2\cdot5\cdot13\cos\alpha.\]

Если угол острый, \(\cos\alpha=\frac15\), тогда \(c^2=194-26=168\), откуда \(c=2\sqrt{42}\) см.

Если угол тупой, \(\cos\alpha=-\frac15\), тогда \(c^2=194+26=220\), откуда \(c=2\sqrt{55}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{42}\) см или \(2\sqrt{55}\) см.