Две стороны треугольника равны 6 см и 4√2 см, а угол между ними 135°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Найдём третью сторону. По теореме косинусов:

\(c^2=6^2+(4\sqrt{2})^2-2\cdot6\cdot4\sqrt{2}\cdot\cos135^\circ\).

Так как \(\cos135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:

\(c^2=36+32+48=116\), поэтому \(c=\sqrt{116}=2\sqrt{29}\) см.

Найдём площадь. Используем формулу площади через две стороны и угол между ними:

\(S=\frac12\cdot6\cdot4\sqrt{2}\cdot\sin135^\circ\).

Так как \(\sin135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\), то \(S=12\) см².

Ответ: третья сторона — \(2\sqrt{29}\) см, площадь — 12 см².