Две стороны треугольника равны 7 см и 9 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — 4 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Обозначим неизвестную сторону через c, а медиану к ней — через m. По теореме Аполлония:

\(7^2+9^2=2\left(m^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2\right)\).

Подставим \(m=4\): \(49+81=2\left(16+\frac{c^2}{4}\right)\). Тогда \(130=32+\frac{c^2}{2}\), откуда \(c^2=196\) и \(c=14\) см.

Проверка существования треугольника: \(7+9>14\), поэтому такой треугольник существует.

Ответ: 14 см.