Две высоты остроугольного треугольника равны 11 см и 12 см, а угол между ними 30°. Найти площадь треугольника.

Пусть данный остроугольный треугольник — $$\triangle ABC$$. Пусть высоты $$AA_1 = 11$$ см и $$BB_1 = 12$$ см, проведены к сторонам $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Угол между высотами $$AA_1$$ и $$BB_1$$ равен $$30^\circ$$.

Площадь треугольника можно выразить как:

$$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BB_1$$

Также рассмотрим четырехугольник $$A_1CB_1H$$, где $$H$$ — точка пересечения высот $$AA_1$$ и $$BB_1$$. Сумма углов четырехугольника равна $$360^\circ$$. Так как $$\angle CA_1H = 90^\circ$$ и $$\angle CB_1H = 90^\circ$$, то $$\angle A_1CB_1 + \angle A_1HB_1 = 180^\circ$$. Угол между высотами $$\angle A_1HB_1 = 30^\circ$$, следовательно, $$\angle ACB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$$ или $$\angle ACB = 30^\circ$$ (так как угол острый).

Поскольку треугольник остроугольный, то угол $$C = 30^\circ$$.

Выразим стороны $$BC$$ и $$AC$$ через площадь треугольника:

$$BC = \frac{2S}{AA_1} = \frac{2S}{11}$$ $$AC = \frac{2S}{BB_1} = \frac{2S}{12} = \frac{S}{6}$$

Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{6} \cdot \frac{2S}{11} \cdot \sin 30^\circ$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{6} \cdot \frac{2S}{11} \cdot \frac{1}{2}$$ $$S = \frac{S^2}{132}$$

Разделим обе части уравнения на $$S$$ (поскольку $$S
eq 0$$):

$$1 = \frac{S}{132}$$ $$S = 132 \cdot \frac{1}{2} = 66$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 33$$ $$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$$

Пусть $$a$$ и $$b$$ - стороны, на которые опущены высоты. Тогда $$11 = c \sin(\alpha)$$, $$12 = c \sin(\beta)$$, где $$c$$ - сторона, противолежащая углу $$30^{\circ}$$. $$\alpha + \beta = 150^{\circ}$$ or $$\alpha + \beta = 30^{\circ}$$.

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin(30^{\circ})$$ $$ S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 33 $$

$$ \frac{ab}{2} \sin \gamma $$ $$ \sin 30 = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{11 * 12}{2} * \frac{1}{2} = 33 $$

Ответ: 33