Две высоты треугольника равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике \(ABC\) высота \(AD\) проведена к стороне \(BC\), а высота \(BE\) — к стороне \(AC\). По условию \(AD=BE\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle ABE\). Их гипотенузы равны: \(AB\) — общая сторона, а катеты \(AD\) и \(BE\) равны по условию. Следовательно, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету.

Отсюда \(\angle BAD=\angle ABE\). Так как \(AD\perp BC\) и \(BE\perp AC\), то \(\angle BAD=90^\circ-\angle B\), а \(\angle ABE=90^\circ-\angle A\). Значит, \(\angle A=\angle B\).

В треугольнике равным углам противолежат равные стороны, поэтому \(BC=AC\). Следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный.

Ответ: \(AC=BC\), поэтому \(\triangle ABC\) равнобедренный.