Двое рабочих вместе могут выполнить работу за 6 дней. За сколько дней может выполнить эту работу в одиночку второй рабочий, если ему для выполнения всей работы потребуется на 5 дней больше, чем первому при работе в одиночку?

Решение:

Пусть $$x$$ – время, за которое первый рабочий выполнит работу в одиночку (в днях).
Тогда $$x + 5$$ – время, за которое второй рабочий выполнит работу в одиночку (в днях).

Производительность первого рабочего: $$\frac{1}{x}$$ (часть работы в день).
Производительность второго рабочего: $$\frac{1}{x+5}$$ (часть работы в день).

Вместе они выполняют работу за 6 дней, следовательно, их общая производительность: $$\frac{1}{6}$$.

Составим уравнение:
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$$

Приведем к общему знаменателю:
$$\frac{x+5 + x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$$

$$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$$

$$6(2x+5) = x^2+5x$$
$$12x+30 = x^2+5x$$
$$x^2 - 7x - 30 = 0$$

Решим квадратное уравнение:
$$D = (-7)^2 - 4(1)(-30) = 49 + 120 = 169$$
$$\sqrt{D} = 13$$

$$x_1 = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$$
$$x_2 = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ (не подходит, так как время не может быть отрицательным)

Итак, первый рабочий выполнит работу за 10 дней, а второй за $$10 + 5 = 15$$ дней.

Ответ: 15 дней