Двояковыпуклая линза изготовлена из стекла с показателем преломления 1,75 и имеет радиус кривизны поверхностей 2 и 0,5 м. Определите фокусное расстояние линзы (м).

Решение:

Для расчёта фокусного расстояния двояковыпуклой линзы используем формулу тонкой линзы:

\[ \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]

где:

• \( f \) — фокусное расстояние линзы
• \( n \) — показатель преломления стекла (\( n = 1.75 \))
• \( R_1 \) — радиус кривизны первой поверхности (\( R_1 = 2 \) м)
• \( R_2 \) — радиус кривизны второй поверхности (\( R_2 = 0.5 \) м)

Так как линза двояковыпуклая, оба радиуса кривизны положительны.

Подставим значения в формулу:

\[ \frac{1}{f} = (1.75 - 1) \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{0.5} \right) \]

\[ \frac{1}{f} = (0.75) \left( 0.5 - 2 \right) \]

\[ \frac{1}{f} = 0.75 \times (-1.5) \]

\[ \frac{1}{f} = -1.125 \]

Теперь найдём \( f \), перевернув дробь:

\[ f = \frac{1}{-1.125} \]

\[ f \approx -0.888... \]

Так как мы получили отрицательное значение фокусного расстояния, это означает, что линза является рассеивающей. Однако, условие гласит, что линза двояковыпуклая, что обычно подразумевает собирающую линзу. Вероятно, в условии задачи опечатка, и один из радиусов кривизны должен быть отрицательным, или же линза изготовлена из материала с показателем преломления меньше 1 (что маловероятно для стекла).

Если предположить, что \( R_2 = -0.5 \) м (что соответствует двояковыпуклой линзе, если считать, что центр кривизны второй поверхности находится с той же стороны, что и центр кривизны первой), то:

\[ \frac{1}{f} = (1.75 - 1) \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{-0.5} \right) \]

\[ \frac{1}{f} = (0.75) \left( 0.5 + 2 \right) \]

\[ \frac{1}{f} = 0.75 \times 2.5 \]

\[ \frac{1}{f} = 1.875 \]

\[ f = \frac{1}{1.875} \]

\[ f \approx 0.533 \]

В стандартной постановке задачи для двояковыпуклой линзы радиусы кривизны поверхностей берутся с положительным знаком, если центр кривизны находится вне линзы, и с отрицательным, если внутри.

Примем стандартное соглашение, что для двояковыпуклой линзы радиусы берутся с разными знаками, если centers of curvature находятся по разные стороны от линзы. Часто, когда указаны два радиуса, один из них подразумевается отрицательным для выпуклой стороны, если центр кривизны находится с той же стороны, что и свет.

Однако, если использовать общепринятое правило для двояковыпуклой линзы: \( R_1 = 2 \) м и \( R_2 = -0.5 \) м (при условии, что свет идёт слева направо, и центры кривизны находятся по разные стороны от линзы), то:

\[ \frac{1}{f} = (1.75 - 1) \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{-0.5} \right) = 0.75 \left( 0.5 + 2 \right) = 0.75 \times 2.5 = 1.875 \]

\[ f = \frac{1}{1.875} = \frac{1}{15/8} = \frac{8}{15} \approx 0.533 \] м.

Если же считать, что оба радиуса положительны, как это иногда указывается в упрощённых задачах, и не учитывать знак, то:

\[ \frac{1}{f} = (1.75 - 1) \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{0.5} \right) = 0.75 \left( 0.5 + 2 \right) = 0.75 \times 2.5 = 1.875 \]

\[ f = \frac{1}{1.875} = \frac{8}{15} \approx 0.533 \] м.

Для двояковыпуклой линзы, изготовленной из материала с показателем преломления \( n > 1 \) (стекло), и имеющей выпуклые поверхности, фокусное расстояние должно быть положительным, что соответствует собирающей линзе. Это достигается, когда \( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} > 0 \). Если \( R_1 \) и \( R_2 \) — радиусы кривизны поверхностей, то для двояковыпуклой линзы следует брать \( R_1 > 0 \) и \( R_2 < 0 \) (или наоборот), либо использовать абсолютные значения радиусов и формулу с учётом знаков.

Принимаем стандартное соглашение: \( R_1 = 2 \) м, \( R_2 = -0.5 \) м.

\[ \frac{1}{f} = (1.75 - 1) \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{-0.5} \right) = 0.75 \left( 0.5 + 2 \right) = 0.75 \times 2.5 = 1.875 \]

\[ f = \frac{1}{1.875} = \frac{8}{15} \approx 0.533 \] м.

Ответ: \(\begin{text}\) \(\frac{8}{15}\) \(\text{ м}\) \(\text{ или приблизительно }\) 0.533 \(\text{ м}\). \(\text\){ \(при условии, что } R_2 = -0.5 \text{ м}\). \(\text{ Если оба радиуса положительны, то задача некорректна для собирающей линзы.}\) \(\text{ \text end{text}}\)