Двугранный угол. Группа «А» 1 Дано: МАВС – правильный тетраэдр. Докажите, что ∠MNA – линейный угол двугранного угла АВСМ. 4 Дано: ∠МAC = 120°; AB = AM = BN = 8. Найдите МN. 5 Дано: ∠МКN = 60°. Найдите расстояние от точки М до плоскости β. 2 Дано: ΔАМС, АС ⊂ α, МВ ⊥ α. Найдите расстояние от точки М до плоскости α. 6 Дано: МАВN – тетраэдр, ΜΝ ⊥ α, ΑΒ = 4. Найдите двугранный угол МАВN. 3 Дано: МАВС – тетраэдр, AB = BC = АС = 12. Найдите двугранные углы МАСВ, МАВС, ВМСА, если МС ⊥ (АВС).

Задача 1

В правильном тетраэдре МАВС все ребра равны, и все грани являются равносторонними треугольниками. Точка N является основанием высоты, опущенной из вершины М на ребро ВС. Так как тетраэдр правильный, то AN также перпендикулярна BC. Угол ∠MNA является линейным углом двугранного угла ABCM, потому что MN и AN перпендикулярны BC.

Задача 2

Для решения этой задачи необходимо найти расстояние от точки M до плоскости α. Из условия задачи известно, что MB ⊥ α, то есть MB является перпендикуляром к плоскости α. Следовательно, расстояние от точки M до плоскости α равно длине отрезка MB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАМС, где AC ⊂ α и MB ⊥ α. Пусть MB = x. Угол ACB равен 60 градусам. Тогда:

tg(60°) = MB / BC

BC = 2

x = BC * tg(60°) = 2 * √3

Ответ: Расстояние от точки M до плоскости α равно 2√3.

Задача 3

В тетраэдре МАВС дано, что AB = BC = AC = 12 и MC ⊥ (ABC). Необходимо найти двугранные углы МАСВ, МАВС, ВМСА. Так как MC перпендикулярна плоскости (ABC), углы МСА, МСВ, МСА прямые. Треугольник ABC - равносторонний. Пусть K - середина AB. Тогда CK - медиана и высота в равностороннем треугольнике ABC. CK = (AB * √3)/2 = (12 * √3)/2 = 6√3. Так как MC ⊥ (ABC), то MC ⊥ AK и MC ⊥ BK. Таким образом, углы между плоскостями (MAC) и (ABC), (MBC) и (ABC) равны углу ACK, который можно найти из прямоугольного треугольника MCK. MC = 6√7, тогда tg∠MCK = MK / CK = (6√7) / (6√3) = √(7/3) = √21 / 3 ∠MCK = arctg(√21 / 3) Двугранные углы МАСВ, МАВС, ВМСА равны arctg(√21 / 3).

Задача 4

Дано: ∠МAC = 120°; AB = AM = BN = 8. Найти MN. Рассмотрим треугольник АМВ: АМ = АВ = 8, значит, треугольник равнобедренный. Тогда ∠AMB = ∠ABM = (180° - 120°)/2 = 30°. Рассмотрим треугольник ABN: АВ = BN = 8, значит, треугольник равнобедренный, и ∠ANB = ∠BAN = (180° - 120°)/2 = 30°. Следовательно, ∠MBN = ∠MBA + ∠ABN = 30° + 30° = 60°. Треугольник MBN равнобедренный (МВ = BN = 8). Тогда МN = BN = 8. Ответ: MN = 8.

Задача 5

Дано: ∠MKN = 60°. Найти расстояние от точки М до плоскости β. Пусть расстояние от точки М до плоскости β равно h. Рассмотрим прямоугольный треугольник MKN. Угол MKN равен 60 градусам. MK = 6√3, тогда tg(60°) = MN / MK MN = MK * tg(60°) = 6√3 * √3 = 18 sin(60°) = MK / MN = (6√3) / 18 = √3 / 3, NK = 6√3

Задача 6

В тетраэдре МАВN, ΜΝ ⊥ α, ΑΒ = 4. Необходимо найти двугранный угол МАВN. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNA, где MN перпендикулярно плоскости α. Так как MN перпендикулярно плоскости α, то AN лежит в плоскости α. Аналогично, BN также лежит в плоскости α. Треугольник АВN - равнобедренный (АВ = BN = 4). Так как МN ⊥ α, то углы МNА и МNB прямые. Значит, тангенс угла МАВ равен отношению MN к АВ. Тангенс угла МАВ равен √5. Следовательно, двугранный угол МАВN равен arctan(√5).