15. Двузначное число: • больше суммы его цифр на 27; • меньше квадрата суммы его цифр на 45. Найдите произведение цифр данного числа.

Пусть искомое число равно $$10a + b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры, тогда:

$$10a + b - (a + b) = 27$$

$$9a = 27$$

$$a = 3$$

Далее, имеем:

$$10a + b + 45 = (a + b)^2$$

Подставляем значение $$a = 3$$:

$$30 + b + 45 = (3 + b)^2$$

$$75 + b = 9 + 6b + b^2$$

$$b^2 + 5b - 66 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 25 + 264 = 289$$

$$b_1 = \frac{-5 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-5 + 17}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$b_2 = \frac{-5 - \sqrt{289}}{2} = \frac{-5 - 17}{2} = \frac{-22}{2} = -11$$

Т.к. $$b$$ - цифра, то $$b = 6$$.

Тогда искомое число равно $$36$$.

Найдём произведение цифр числа:

$$3 \cdot 6 = 18$$

Ответ: 18