Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, даёт полный квадрат. Найти все такие числа.

Пусть двузначное число имеет вид $$10a + b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры от 1 до 9. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет иметь вид $$10b + a$$. Сумма этих чисел равна:

$$ (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) $$

Нам нужно найти такие числа, чтобы $$11(a + b)$$ было полным квадратом. Поскольку 11 - простое число, то для того, чтобы произведение было полным квадратом, необходимо, чтобы и $$a + b$$ делилось на 11. Так как a и b - цифры, то $$a + b$$ может быть равно только 11 (потому что если $$a+b=0$$, то это не двузначное число, а если $$a+b=22$$, то числа a и b не могут быть однозначными).

Тогда $$11(a + b) = 11 cdot 11 = 121 = 11^2$$. Значит, сумма цифр должна быть равна 11.

Перечислим все возможные пары цифр, дающие в сумме 11:

• 2 и 9. Числа 29 и 92. $$29 + 92 = 121 = 11^2$$
• 3 и 8. Числа 38 и 83. $$38 + 83 = 121 = 11^2$$
• 4 и 7. Числа 47 и 74. $$47 + 74 = 121 = 11^2$$
• 5 и 6. Числа 56 и 65. $$56 + 65 = 121 = 11^2$$
• 6 и 5. Числа 65 и 56. $$65 + 56 = 121 = 11^2$$
• 7 и 4. Числа 74 и 47. $$74 + 47 = 121 = 11^2$$
• 8 и 3. Числа 83 и 38. $$83 + 38 = 121 = 11^2$$
• 9 и 2. Числа 92 и 29. $$92 + 29 = 121 = 11^2$$

Таким образом, все такие числа:

• 29
• 38
• 47
• 56
• 65
• 74
• 83
• 92

Ответ: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92