Дз • 1. Упростите выражение: a) 6√3+√27-3√75; 6) (√50-2√2)/2; в) (2-13). • 2. Сравните 12 и 145. 3. Сократите дробь: 3 V3-3 a-2Va a) ; б) V5-V15 3Va-6 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: 5 8 a) ; б) 3/10 V6+V2 5. Докажите, что значение выражения 1 1 2V7-1 2V7+1 есть число рациональное. наибольшее значение? 6. При каких значениях х дробь √x−√7 x-7 принимает

1. Упростите выражение:

a) $$6\sqrt{3} + \sqrt{27} - 3\sqrt{75}$$

Преобразуем выражение, упрощая корни:

$$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$ $$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$$

Подставим упрощенные корни в исходное выражение:

$$6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3(5\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = (6 + 3 - 15)\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$$

Ответ: $$-6\sqrt{3}$$

б) $$\left(\sqrt{50} - 2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}$$

Преобразуем выражение, упрощая корень:

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$

Подставим упрощенный корень в исходное выражение:

$$\left(5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\right)\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$$

Ответ: $$6$$

в) $$(2 - \sqrt{3})^2$$

Воспользуемся формулой квадрата разности: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

В нашем случае $$a = 2$$ и $$b = \sqrt{3}$$

$$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$$

Ответ: $$7 - 4\sqrt{3}$$

2. Сравните $$\frac{1}{2}\sqrt{12}$$ и $$\frac{1}{3}\sqrt{45}$$

Упростим оба выражения:

$$\frac{1}{2}\sqrt{12} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 3} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$$

$$\frac{1}{3}\sqrt{45} = \frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot 5} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{5} = \sqrt{5}$$

Теперь сравним $$\sqrt{3}$$ и $$\sqrt{5}$$

Так как $$3 < 5$$, то $$\sqrt{3} < \sqrt{5}$$

Следовательно, $$\frac{1}{2}\sqrt{12} < \frac{1}{3}\sqrt{45}$$

Ответ: $$\frac{1}{2}\sqrt{12} < \frac{1}{3}\sqrt{45}$$

3. Сократите дробь:

а) $$\frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}(1 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{\sqrt{5}(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{15}}{5}$$

б) $$\frac{a - 2\sqrt{a}}{3\sqrt{a} - 6}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{a - 2\sqrt{a}}{3\sqrt{a} - 6} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)}{3(\sqrt{a} - 2)} = \frac{\sqrt{a}}{3}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{a}}{3}$$

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) $$\frac{5}{3\sqrt{10}}$$

Избавимся от корня в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $$\sqrt{10}$$:

$$\frac{5}{3\sqrt{10}} = \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{3\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{3 \cdot 10} = \frac{5\sqrt{10}}{30} = \frac{\sqrt{10}}{6}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{10}}{6}$$

б) $$\frac{8}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$

Избавимся от корня в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $$\sqrt{6} - \sqrt{2}$$:

$$\frac{8}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

Ответ: $$2(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

5. Докажите, что значение выражения

$$\frac{1}{2\sqrt{7} - 1} - \frac{1}{2\sqrt{7} + 1}$$

есть число рациональное.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{2\sqrt{7} - 1} - \frac{1}{2\sqrt{7} + 1} = \frac{(2\sqrt{7} + 1) - (2\sqrt{7} - 1)}{(2\sqrt{7} - 1)(2\sqrt{7} + 1)} = \frac{2\sqrt{7} + 1 - 2\sqrt{7} + 1}{(2\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{2}{4 \cdot 7 - 1} = \frac{2}{28 - 1} = \frac{2}{27}$$

Так как $$\frac{2}{27}$$ - рациональное число, то и исходное выражение является рациональным числом.

Ответ: Выражение является рациональным числом.

6. При каких значениях х дробь $$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7}$$ принимает наибольшее значение?

Преобразуем выражение:

$$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{(\sqrt{x} - \sqrt{7})(\sqrt{x} + \sqrt{7})} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{7}}$$

Чтобы дробь $$\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{7}}$$ принимала наибольшее значение, знаменатель должен быть наименьшим.

Так как $$\sqrt{7}$$ - константа, нужно минимизировать $$\sqrt{x}$$. Минимальное значение $$\sqrt{x}$$ равно 0, что соответствует $$x = 0$$.

Ответ: $$x = 0$$