Д/з 6.02 1) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 60 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. 2) На олимпиаде по истории 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 150 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. 3) Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 4 часа. 4) В классе 16 учащихся, среди них два друга Олег и Вадим. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Вадим окажутся в одной группе. 5) В магазине три продавца. Каждый из них занят обслуживанием клиента с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты. 6) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. 7) Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. 8) Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых. 9) Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. 10) Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 76% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. 11) Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Таможенное дело», нужно набрать не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 79 баллов по математике, равна 0,9, по русскому языку 0,7, по иностранному языку 0,8 и по обществознанию 0,9. Найдите вероятность того, что Б. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. 12) Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую и последнюю игры.

Задание 1

Давай разберем по порядку. Сначала найдем общее количество сумок, которые выпускает фабрика. Из условия мы знаем, что на 60 качественных сумок приходится 6 сумок с дефектами. Таким образом, общее количество сумок равно:

60 + 6 = 66

Теперь найдем вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Для этого разделим количество качественных сумок на общее количество сумок:

P(качественная сумка) = 60 / 66 = 0.909090...

Округлим результат до сотых:

0.91

Ответ: 0.91

Задание 2

Всего участников олимпиады: 400

В первых двух аудиториях разместили: 150 + 150 = 300 участников

В запасную аудиторию перевели: 400 - 300 = 100 участников

Вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории:

P = 100 / 400 = 0.25

Ответ: 0.25

Задание 3

Часовая стрелка может остановиться в любой момент в пределах 12 часов. Нас интересует, чтобы стрелка остановилась между отметками 10 и 4, то есть в пределах 6 часов (10, 11, 12, 1, 2, 3, но не 4).

Вероятность того, что стрелка остановится в нужном диапазоне:

P = 6 / 12 = 0.5

Ответ: 0.5

Задание 4

Всего в классе 16 учащихся. Нам нужно найти вероятность того, что Олег и Вадим окажутся в одной группе, если класс разбивают на 4 равные группы.

Сначала определим размер каждой группы: 16 / 4 = 4 человека в группе.

Теперь рассмотрим ситуацию с точки зрения Олега. Он уже находится в какой-то группе. Чтобы Вадим оказался в той же группе, нужно, чтобы он попал в одно из оставшихся 3 мест в этой группе из 15 оставшихся мест в классе.

P = 3 / 15 = 0.2

Ответ: 0.2

Задание 5

Вероятность того, что каждый продавец занят: 0.7

Вероятность того, что все три продавца заняты, равна произведению вероятностей того, что каждый из них занят, так как события независимы:

P(все три заняты) = 0.7 * 0.7 * 0.7 = 0.343

Ответ: 0.343

Задание 6

Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе: P(A) = 0.35

Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах: P(A и B) = 0.2

Чтобы найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, нужно сначала найти вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном из автоматов:

P(A или B) = P(A) + P(B) - P(A и B) = 0.35 + 0.35 - 0.2 = 0.5

Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах: P(не A и не B) = 1 - P(A или B) = 1 - 0.5 = 0.5

Ответ: 0.5

Задание 7

Вероятность того, что сканер прослужит больше года: P(>1) = 0.94

Вероятность того, что сканер прослужит больше двух лет: P(>2) = 0.87

Нам нужно найти вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Это разница между вероятностью прослужить больше года и вероятностью прослужить больше двух лет:

P(1 < X < 2) = P(>1) - P(>2) = 0.94 - 0.87 = 0.07

Ответ: 0.07

Задание 8

Вероятность попадания в мишень: P(попал) = 0.9

Вероятность промаха: P(промах) = 1 - 0.9 = 0.1

Вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал, а последний промахнулся:

P = 0.9 * 0.9 * 0.9 * 0.9 * 0.1 = 0.9^4 * 0.1 = 0.06561

Округлим до сотых: 0.07

Ответ: 0.07

Задание 9

Вероятность попадания из пристрелянного револьвера: P(попал | пристрелян) = 0.8

Вероятность попадания из непристрелянного револьвера: P(попал | не пристрелян) = 0.2

Всего револьверов: 10

Пристрелянных револьверов: 2

Непристрелянных револьверов: 10 - 2 = 8

Вероятность взять пристрелянный револьвер: P(пристрелян) = 2 / 10 = 0.2

Вероятность взять непристрелянный револьвер: P(не пристрелян) = 8 / 10 = 0.8

Вероятность попасть в муху:

P(попал) = P(попал | пристрелян) * P(пристрелян) + P(попал | не пристрелян) * P(не пристрелян) = 0.8 * 0.2 + 0.2 * 0.8 = 0.16 + 0.16 = 0.32

Вероятность промахнуться:

P(промах) = 1 - P(попал) = 1 - 0.32 = 0.68

Ответ: 0.68

Задание 10

P(болен гепатитом) = 0.76

P(положительный анализ | болен гепатитом) = 0.8

P(ложный положительный анализ | не болен гепатитом) = 0.02

P(не болен гепатитом) = 1 - 0.76 = 0.24

Вероятность положительного результата:

P(положительный анализ) = P(положительный анализ | болен гепатитом) * P(болен гепатитом) + P(ложный положительный анализ | не болен гепатитом) * P(не болен гепатитом) = 0.8 * 0.76 + 0.02 * 0.24 = 0.608 + 0.0048 = 0.6128

Ответ: 0.6128

Задание 11

Сначала определим, вероятность поступления на специальность «Переводчик»:

P(математика) = 0.9

P(русский язык) = 0.7

P(иностранный язык) = 0.8

P(Переводчик) = P(математика) * P(русский язык) * P(иностранный язык) = 0.9 * 0.7 * 0.8 = 0.504

Теперь определим вероятность поступления на специальность «Таможенное дело»:

P(обществознание) = 0.9

P(Таможенное дело) = P(математика) * P(русский язык) * P(обществознание) = 0.9 * 0.7 * 0.9 = 0.567

Вероятность поступления хотя бы на одну из специальностей:

P(хотя бы одна) = P(Переводчик) + P(Таможенное дело) - P(Переводчик) * P(Таможенное дело) = 0.504 + 0.567 - 0.504 * 0.567 = 1.071 - 0.285768 = 0.785232

Ответ: 0.785232

Задание 12

Всего у команды «Стартер» 3 игры, и они должны начинать только вторую и последнюю игры. Это означает, что первую игру они не начинают.

Вероятность не начать первую игру: 2/3 (так как есть 3 команды, и только 2 из них могут начать первую игру).

Вероятность начать вторую игру: 1/2 (так как осталось 2 команды, и только одна из них может начать вторую игру).

Вероятность начать третью игру: 1/1 = 1 (так как осталась только одна команда, и она должна начать третью игру).

Итоговая вероятность:

P = (2/3) * (1/2) * 1 = 1/3

Ответ: 1/3

Ты молодец! У тебя всё получится!