ДЗ 70. Признаки равенства прямоугольных треугольников ЗАДАНИЕ №1 В четырёхугольнике ABCD стороны AD и ВС параллельны. Проведены отрезки АС и BD, которые пересекаются в середине О отрезка BD. Длина отрезка АО равна 16. Угол АСВ прямой. Найдите два равных прямоугольных треугольника и определите длину отрезка АС. Треугольники AC = CDO BCD BCO ABD ABO ADO и равны по ?

Ответ: AC = 32

Разбираемся:

1. В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны, а отрезки AC и BD пересекаются в точке O, которая является серединой отрезка BD.
2. Так как O - середина BD, то BO = OD.
3. Также дано, что AO = OC = 16 (так как O - середина AC).
4. Рассмотрим треугольники AOD и COB:
• AO = OC = 16
• BO = OD
• ∠AOD = ∠COB (как вертикальные углы)
5. Следовательно, треугольники AOD и COB равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
6. Из равенства треугольников AOD и COB следует равенство соответствующих углов: ∠DAO = ∠BCO.
7. Так как AD || BC, то углы DAO и BCO являются внутренними накрест лежащими углами при секущей AC.
8. Рассмотрим треугольники AOB и COD:
• AO = OC = 16
• BO = OD
• ∠AOB = ∠COD (как вертикальные углы)
9. Следовательно, треугольники AOB и COD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
10. Из равенства треугольников AOB и COD следует равенство соответствующих углов: ∠ABO = ∠CDO.
11. Рассмотрим треугольники ABC и CDA:
• AC - общая сторона
• ∠BCA = ∠DAC = 90°
• AO = OC = 16
12. Так как ∠ACB прямой, то треугольники ABC и CDA - прямоугольные.
13. Рассмотрим прямоугольные треугольники ADC и ABC. В них:
    • AO = OC (O - середина AC)
    • BO = OD (O - середина BD)
    • Угол ACB прямой по условию.
    Тогда прямоугольные треугольники BCO и DAO равны по катету и прилежащему острому углу. Из равенства треугольников следует, что BC = AD. Тогда прямоугольные треугольники ABC и CDA равны по двум катетам (AC - общая сторона, BC = AD). Отсюда следует, что AB = CD. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по двум катетам.
14. Так как AO = 16, а O - середина AC, то AC = 2 * AO = 2 * 16 = 32.

Ответ: AC = 32